在这段时间,我要在杭州市富阳市新登中学实习将近3个月.9月15日到校,经过这两天对学生的接触,我发现刚入学的高一学生普遍对于所谓的“换元法求函数表达式”不理解.这不能全怪他们,一是,在初中数学的基础上一下子接触这么抽象的函数概念,在理解上确实是存在困难的,我仍旧记得我高一的时候为了彻底明白函数的有关概念而抱头想了很长时间,完全清晰的函数概念在相当久之后才通过阅读课外书,在我的心里清楚地建立起来.二是,残缺的教材和没讲清楚的老师要承担绝大多数责任.什么是复合函数?什么是函数的图像?这些重要的概念在教材里并没提到,而相当多的老师因为教材里没提到,就不讲这些概念.然而题目里,到处出现诸如$f(x+1)$之类的复合函数.

根本不知道何为复合函数,却大量地做(模仿?机械地照搬?)有关复合函数的题目.不知道何为函数的图像,却去画图,这是无根之木,无源之水.我们的学生并不笨,可是如果教材和老师不把思考的基础——概念,清楚地传授给学生,那么该叫学生的思考从何开始？

今晚18点到18点半在教室答疑的时候,来问我的学生普遍问这个问题:

已知函数$f(2x+1)=3x+2$,且$f(a)=2$,则$a$的值等于( ).

由于半个小时的答疑时间有限,我只能将他们老师教他们的机械方法重复一遍,就是所谓的“换元法”.把$2x+1$看成一个整体,用$t$表示,于是$2x+1=t$,于是$x=\frac{t-1}{2}$.于是

$$f(t)=3(\frac{t-1}{2})+2=\frac{3}{2}t+\frac{1}{2}.$$

于是$f(a)=\frac{3}{2}a+\frac{1}{2}=2$,解得$a=1$.

首先,现在的教材存在一个不好(然而并不算严重)的倾向, 就是把“函数的值$p(x)$”和“函数$p$”混为一谈.函数是函数,函数的值是函数的值,他们并不是同一个东西.$p(x)$是函数的值,并不是函数,定义域中的任意一个数$x$,经过函数$p$的作用后,变成值域中的相应的一个数$p(x)$.

而且,这个题目涉及到的是复合函数,而教材里根本没定义复合函数.现在,我们来叙述复合函数的概念,这个概念来自《陶哲轩实分析》:

设$f:X\to Y$ 和 $g:Y\to Z$是两个函数,使得$f$的值域和$g$的定义域是同一个集合,那么可以定义两个函数$g$与$f$的复合为由公式$(g\circ f)(x):=g(f(x))$明确定义的函数.如果$f$的值域与$g$的定义域不一致,我们认为复合$g\circ f$没有定义.

在这个题目里,首先,一个函数$g$把$x$映射为$g(x)=2x+1$,然后函数$f$把$g(x)=2x+1$映射为$f(g(x))=f(2x+1)$.因此,题目严格而详细的表述如下:

已知函数$g:\mathbf{R}\to\mathbf{R}$,且$g:x\to 2x+1$.函数$f$的定义域等于函数$g$的值域,且$f:2x+1\to 3x+2$.数$a$在函数$f$的作用下变成$2$,那么$a$等于几?

解:函数$f$把函数$g$的值域中的任意形如$2x+1$的数变成$f$值域中的数$3x+2$,因此函数$f$把$g$的值域中的任意一个数$t$变成$f$的定义域中的数$\frac{3}{2}t+\frac{1}{2}$(具体怎么实现可以通过上面的换元法实现,换元法只是一个技术而已,熟练使用换元法并不能说明学生已经理解一切概念).于是$$f(a)=\frac{3}{2}a+\frac{1}{2}=2,$$解得$a=1$.

由于不知道复合函数的概念,还有一个高中生普遍存在的问题,当我们说“函数$f(x+1)$”的时候,我们到底是在说函数$f$还是在说复合函数$f\circ g$?其中函数$g:x\to x+1$.事实上,当我们说”函数$f(x+1)$“的时候,我们指的是复合函数$f\circ g$,而不是指函数$f$.这样我们就能解如下高中生普遍存在的疑问:

已知函数$f(x+1)$的定义域为$(-1,1)$,求$f(x-1)$的定义域.

解:$f(x+1)$表示复合函数$f\circ g$,其中$g:x\to x+1$,$f:x+1\to f(x+1)$.函数$f\circ g$的定义域是$(-1,1)$,也就是说,函数$g$的定义域是$(-1,1)$,于是$g$的值域是$(-1+1,1+1)=(0,2)$,于是$f$的定义域等于$g$的值域,是$(0,2)$.$f(x-1)$是另一个复合函数$f\circ h$,其中$h:x\to x-1$.于是函数$h$的值域等于$f$的定义域,是$(0,2)$,因此$h$的定义域是$(0+1,2+1)=(1,3)$.也就是说,复合函数$f(x-1)$的定义域是$(1,3)$.

高一学生普遍不理解复合函数.tex