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求正弦函数值

已有 6394 次阅读 2012-12-6 13:20 |系统分类:科研笔记| 直径, 迭代, 正弦, 劣弧

    通常求取某一弧度的正弦值是通过查表的方式,但某些场合下,例如小处理器,堆栈空间有限,为了尽量减少math库带来的程序空间占用,获得确定精度下的正弦值,可以使用下面的方法(在时间要求不太高的情形下)。

C程序:

double  sin_t(double a)

{

     double  tmp = a,re,tmp2;

     char i = 0;

     do{

         tmp /= 2;

         i++;

     }while( tmp > ( 0.0001 )); //1

     re = tmp * tmp;

     do{

         re = 4 * re * ( 1- re );

     }while( --i > 0);//2

     tmp = re;

     do{

         tmp2 = tmp;

         tmp = tmp / 2 + re / tmp / 2;

     }while( tmp2 != tmp);//3

     return tmp;

}

1):精度10^-4的运算要求,当然也可修改为其它精度,但需要保证它的2次方在double精度运算以内。这段程序目的把弧度a平分为2i次幂。通常我们认为function: sin(x)/x 在足够小的情形下值为1。所以当把弧度平分到一个给定的“足够小”量级时,认为sin(x)=x,例如sin(0.000097)= 9.6999999847887833404894502125635e-5,通常的场合下可以直接认为其约等于0.000097

2):既然弧度a被平分了i次,倍角公式的变形 (sin(2*x))^2=4*((sin(x))^2)*(1-(sin(x))^2),倍角i次后得到的值也就是所需要求取正弦值的平方了。

3):既然有了平方,那么值开方就用到这段程序,牛顿迭代求根。x^2-p=0 => x(n+1)=x(n)-((x(n))^2-p)/(2*x(n))=x(n)/2+p/x(n)/2

注意程序只计算的值默认为正值,具体是正或负,可以在前加入弧度范围的判断即可。

利用sin(x)也可以求得arctan(x)的值,方法也是牛顿迭代(满足迭代条件),tan(x)-p=0 => x(n+1)=x(n)+p*(cos(x(n))^2-sin(x(n))*cos(x(n))

说到迭代,我想起以前写的一个已知劣弧长,弦长,求直径的MATLAB函数;

function R=ac2r(arc,chord)

if (arc/chord)>pi/2        %(1)

    R=0;

else

    x=1/chord;

    for i=1:1000

        tmp=x;

        x=sin(arc*x)/chord;

        if x==tmp

            break;

        end

    end

    R=1/x;

end

(1):所求条件须劣弧。这是不动点的求法。

sin(arc/R)=chord/R => x=sin(arc*x)/chord  其中x=1/R。对于式子右方求导(arc/chord)*cos(arc*x) 其值在0<arc*x<pi/2时小于1arc/chord<arc*x =>(arc/chord)*cos(arc*x)<arc*x*cos(arc*x)。而x*cos(x)0<x<pi/2时小于“1”。

>> 13.7*sin(0.87)

ans =

   10.4713

>> 0.87*13.7

ans =

   11.9190

>> ac2r(11.9190,10.4713)

ans =

   13.7000

 

常想,对于某个问题,确定它的最优解法的困难会是有规则的么?判断最优又是依靠什么,对于动则几何级数的复杂度,这些复杂度,起源于少数bit可以描述的问题,颇令人感到讽刺。也许因为所我们(包括问题)存在的宇宙,在交流时所用的语言,它其中包含的信息已经不可思议的庞大了吧。NP……。



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