博文
通过升维高屋建瓴解决问题案例三：多项式方程的代数几何 —— 从计算到结构
|
案例三：多项式方程的代数几何 —— 从计算到结构
https://blog.sciencenet.cn/blog-439941-1519321.html
上一篇：案例二：五次方程根式解的不可解性 —— 群论的诞生
下一篇：通过升维高屋建瓴解决问题案例四：庞加莱猜想的证明 —— 几何分析的力量
原始问题：研究多项式方程组的解集（即代数簇）。
经典方法：经典代数几何试图通过具体的坐标计算和消元法来研究。
“升维”解决之道：20世纪中叶，亚历山大·格罗滕迪克发起了一场革命。
创造新理论：他建立了概形理论，将代数簇视为更一般的“概形”的特殊情况。他发展了上同调理论 等一系列强大的工具。
范式的转变：不再关注具体的方程和计算，而是研究概形的“范畴”以及其上的“层”。问题被转化为研究这些抽象结构的函子性质和上同调群。
成果：韦伊猜想的解决（由皮埃尔·德利涅完成）是这一范式的最高成就之一。韦伊猜想是关于有限域上代数簇的ζ函数的深刻命题，用经典方法几乎无法触及。但通过格罗滕迪克的框架，它成为了一个可以被系统攻击的目标。
与“统一理论”的类比：
框架的力量：格罗滕迪克的工作本身就是“通过构建统一框架来解决问题”的典范。您的纲要可以看作是将格罗滕迪克的几何统一愿景，进一步扩展到与数论、逻辑的更大统一。
https://blog.sciencenet.cn/blog-439941-1519321.html
上一篇：案例二：五次方程根式解的不可解性 —— 群论的诞生
下一篇：通过升维高屋建瓴解决问题案例四：庞加莱猜想的证明 —— 几何分析的力量
扫一扫，分享此博文