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案例二：五次方程根式解的不可解性 —— 群论的诞生
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案例二：五次方程根式解的不可解性 —— 群论的诞生
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原始问题：寻找五次及以上代数方程的根式解（即用系数进行加、减、乘、除、开方运算表示的公式解）。
直接攻击的失败：几个世纪里，数学家们试图寻找这样一个复杂的公式，但都失败了。
“升维”解决之道：阿贝尔和伽罗瓦没有继续纠缠于公式本身，而是彻底改变了问题的提法。
新问题：一个方程是否根式可解，其本质特征是什么？
创造新理论：伽罗瓦创造了“群论”这一全新的数学领域。他将每个方程与一个特定的“伽罗瓦群”联系起来。
优雅的解决：他证明，一个方程有根式解，当且仅当其伽罗瓦群是“可解群”。而五次方程的伽罗瓦群（对称群S5）不是可解群。这就不仅解决了五次方程的问题，还给出了判断任意方程是否根式可解的普适性判据。
与“统一理论”的类比：
创造新语言：伽罗瓦没有在旧的“公式语言”里挣扎，而是发明了“群”这个更强大的语言来描述对称性。
问题的转化：将一个具体的、困难的计算问题，转化为一个更抽象、但更根本的结构性质问题（群的可解性）。
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