1925年，德国物理学家恩斯特·伊辛发表了他的博士论文。他的导师是威廉·楞次，一位在磁学领域颇有建树的物理学家。楞次给伊辛布置了一个任务：研究一个简化的磁性模型，看看它是否能解释铁磁相变。

    这个模型极其简单。想象一条由小磁铁组成的链条，每个小磁铁只能指向上或指向下。相邻的小磁铁之间有相互作用：如果它们指向相同，能量较低；如果指向相反，能量较高。这就是一维伊辛模型。伊辛证明了，在这个一维模型中，无论温度多低，只要没有外磁场，系统就不会出现自发磁化。换句话说，一维伊辛模型没有相变。

    这个结果让伊辛有些失望。他原本希望这个模型能解释为什么铁在低温下是磁性的，在高温下会失去磁性。但一维模型失败了。伊辛甚至猜测，更高维度的版本也不会有相变。他错了，但错得很有价值。他的工作为后来的研究者奠定了基础，而模型本身也以他的名字命名，成为统计物理学的基石。

    伊辛模型之所以伟大，不在于它的复杂性，而在于它的简洁性。它用最基本的要素——二元变量、近邻相互作用、温度——捕捉了相变最本质的特征。它是统计物理学的“果蝇”：像生物学家用果蝇研究遗传学一样，物理学家用伊辛模型研究相变、临界现象、对称性破缺。

    1940年代，挪威裔美国化学家拉斯·昂萨格取得了突破。他研究了二维伊辛模型——不是链条，而是棋盘。在二维平面上，每个小磁铁有四个邻居，而不是两个。昂萨格发现，这个看似简单的改变，彻底改变了模型的行为。二维伊辛模型确实存在相变：在低温下，系统自发地选择了一个方向，大多数小磁铁指向同一方向，产生宏观磁化；在高温下，热涨落破坏了这种有序，磁化消失。

    昂萨格的精确解是统计物理学的里程碑。他计算了二维伊辛模型在热力学极限下的自由能，确定了相变温度，并发现比热在相变点呈现对数发散，而不是幂律发散。这个结果与当时流行的平均场理论预测完全不同，证明了临界现象不能简单地用平均场近似来描述。

    昂萨格的方法极其精巧。他使用了转移矩阵技术，把二维问题转化为一维问题的乘积。他还使用了克利福德代数和旋量分析，这些工具来自量子场论，被巧妙地应用于经典统计力学。昂萨格的论文以其简洁和深度著称，但也被认为过于晦涩。据说，当他首次在学术会议上宣布结果时，许多人甚至没有意识到他已经解决了这个困扰物理学界多年的问题。

    昂萨格的工作开启了精确可解模型的新时代。此后，人们发现了许多与伊辛模型相关的可解系统：六顶点模型、八顶点模型、硬核玻色子模型等。这些模型展示了统计物理中丰富的数学结构：杨-巴克斯特方程、量子群、共形场论。伊辛模型不再只是一个磁性模型，它成为了一面镜子，反射出数学与物理之间深刻的联系。

    对于黎曼猜想的研究者来说，伊辛模型的历史提供了重要的启示。一维模型太简单，没有相变；三维模型有精确解，但是太复杂。二维模型恰好处于中间地带：足够复杂以展现非平庸的行为，又足够简单以允许精确分析。这种“临界性”——不是相变点的临界性，而是模型复杂度的临界性——可能是连接物理与数论的关键。

    更重要的是，伊辛模型的配分函数零点——费舍尔零点——在复温度平面上有着精确的几何分布。在二维情况下，这些零点位于单位圆上。这个结果是严格的，不依赖于近似。如果能把黎曼ζ函数与某个伊辛模型的配分函数等同起来，那么黎曼零点在临界线上的分布，就可能对应于费舍尔零点在单位圆上的分布。

    但标准的二维伊辛模型是铁磁的，所有相互作用都是同号的。它的能级是规则的，不是随机的；它的零点分布虽然精确，但统计行为与GUE不符。要产生黎曼零点那样的随机性，需要引入无序。而自旋玻璃——伊辛模型的一种无序版本——恰好提供了这种随机性。

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