希尔伯特-波利亚猜想提出后的近一个世纪里，数学家们和物理学家们一直在寻找那个神秘的量子系统。这个系统的能谱应该恰好对应于黎曼零点的虚部，而其哈密顿量应该是一个厄米算符，从而保证本征值为实数。如果找到这样的系统，黎曼猜想就会自然成立，因为厄米算符的本征值总是实数，而黎曼零点的虚部恰好是这些本征值。

    这个思路听起来如此优美，以至于许多人相信它一定是对的。然而，具体的实现却困难重重。问题在于，黎曼零点不是任意的一组实数，它们有着极其特殊的分布规律。它们不仅满足随机矩阵统计，还满足无数其他的数论约束。要找到一个量子系统，其能级同时满足所有这些约束，就像在浩瀚的乐器库中寻找一把特定的琴，它的音色必须与一段从未被完整演奏过的旋律完全吻合。

    早期的尝试集中在构造显式的微分算符或积分算符。数学家们尝试了各种形式的哈密顿量，从简单的薛定谔算符到复杂的伪微分算符。有些算符确实产生了与黎曼零点部分吻合的谱，但总是差那么一点点：要么缺少某些零点，要么多出一些不该有的能级，要么统计行为不完全匹配。

    贝里和基廷的H等于x乘以p是这些尝试中最著名的一个。这个算符在经典层面是简单的，但量子化时遇到了边界条件的难题。为了得到离散的能级，必须对算符施加某种截断或正则化，而这种截断的选择往往带有任意性。不同的截断方式给出不同的谱，没有一个截断能够精确地复现黎曼零点。

    另一个方向是寻找离散的、组合性的量子系统。例如，某些量子图或量子网络，其能级由图的拓扑结构决定。数学家们发现，通过精心设计图的结构，可以使得能级统计接近GUE。但要让能级位置精确对应于黎曼零点，而不仅仅是统计相似，仍然是一个未解的问题。

    还有一些研究者从随机矩阵理论本身出发，试图构造一个特定的随机矩阵系综，其特征值恰好是黎曼零点。但随机矩阵的特征值是随机的，而黎曼零点是确定的。要让随机过程产生确定的结果，需要某种“冻结”机制，使得随机性在极限情况下消失。这种机制在物理上很难想象。

    从更抽象的角度看，希尔伯特-波利亚猜想面临一个概念性的挑战：它试图用物理系统的性质来证明数论命题，但物理系统本身是由数学描述的。如果物理系统的数学描述依赖于数论中尚未证明的假设，那么这种证明就会陷入循环。为了避免循环，必须找到一个其存在性不依赖于黎曼猜想的物理系统，然后证明这个系统的谱恰好是黎曼零点。这要求物理系统的定义必须是“初等的”，不借助任何高深的数论。

    在活性算法的框架中，希尔伯特-波利亚猜想可以被重新诠释为一种“表征学习”的问题。黎曼零点是某种深层结构的“特征”，而量子系统是这种结构的“表征”。活性算法的目标不是找到一个固定的表征，而是找到一个动态的、自维持的推断过程，其稳态输出恰好编码了这些特征。这意味着，重要的不是“哪个算符的谱是零点”，而是“什么样的推断动力学收敛到零点分布”。这种视角把问题从静态的谱理论，转化为了动态的学习理论。

    然而，在张志东的工作出现之前，所有这些尝试都停留在抽象层面。没有人能够从一个具体的、经典的统计物理模型出发，严格地推导出黎曼零点的分布。随机矩阵理论提供了统计对应，量子混沌提供了动力学直觉，但它们都缺少一个关键要素：一个精确可解的晶格模型，其配分函数的零点分布与黎曼零点的分布严格等价。

    这个空缺将被一种最经典的统计物理模型所填补。这个模型诞生于1925年，经历了近一个世纪的发展，凝聚了无数物理学家的智慧。它就是伊辛模型。

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