集合论 SET THEORY (第三版）

Thomas JECH 著    眭跃飞 译

Springer,  2002

序

当我于1970年代写第一版本时我的目的是呈现一个世纪老的学科的当前状态最近经

历一个革命性变换. 该书重新版本于1997时我开始思考一个修改版本. 我很快清楚

为了描述目前的集合论我得写多少一本新书.

结果是这个版本本质不同于1978年的版本. 主要差别是三个主要方面(力迫, 大基数

和描述集合论)不再处理为分离的主题. 过去25年的进展模糊这些方面的差别: 力迫变

成每个集合论学者的一个不可缺少的工具, 而描述集合论实际上演变为L(R)在

大基数假设下的研究. 此外, 内模型的研究也变成大基数理论的一个主要部分.

该书有3个部分. 第一部分包括集合论的每个学生应该学到的并且所有结果包含一个详细的证明. 在第二部分中我呈现主题和技术我认为每个集合论学生应该掌握的; 包括大部分证明, 甚至某些是技巧性的.

至于第三部分我选取各种结果我个人排斥世纪转换时集合论的状态.

我希望表示感谢于下面的机构使得我可以使用他们的设施当我写该书时: Mathematical

Institute of the Czech Academy of Sciences, The Center for Theoretical Study

in Prague, CRM in Barcelona以及the Rockefeller Foundation’s Bellagio Center.

我也感谢许多集合论学者我咨询各种主题, 并且特别感谢那些对手稿做出无价的评论. 我特别感谢Miroslav Repicky将手稿转换为LATEX. 他也编译3个索引读者可以发现是非常有帮助的.

最后并且最重要的, 我希望感谢我的妻子, 在这书的写作期间她的耐心和鼓励.

Prague, May 2002                                                                                            Thomas Jech

目录

     部分I. 基本集合论

    1. 集合论公理      7

     Zermelo-Fraenkel公理. 为什么公理集合论? 集合论语言, 公式. 类. 外延性. 配对. 分离模式. 并. 幂集. 无穷性. 替换模式. 练习. 历史注释.

    2. 序数      17

    线性和偏序. 良序. 序数. 归纳和递归. 序数算术. 良定关系. 练习. 历史注释.

    3. 基数     25

    基数. Aleph. α×α的典型良序. 余尾. 练习. 历史注释.

    4. 实数     32

    连续统的基数. R. Suslin问题的序. 实数线的拓扑. Borel集合. Lebesgue测度. Baire空间.

Polish空间. 练习. 历史注释.

    5. 选择公理和基数算术     38

    选择公理. 使用选择公理于数学. 可数选择公理. 基数算术. 无穷和和乘积. 连续统函数. 基数指数. 奇异基数假设. 练习. 历史注释.

    6. 正则性公理     51

    集合的聚集分层. ∈-归纳. 良定关系. Bernays-Goedel 公理集合论. 练习. 历史注释.

    7. 滤子, 超滤和Boolean代数     60

    滤子和超滤. ω上的超滤. κ-完全滤子和理想. Boolean代数. Boolean代数上的理想和滤子. 完全Boolean代数. 完全和正则子代数. 饱和. 完全Boolean代数的分配性. 练习. 历史注释.

    8. 不可移动集合     74

    封闭无界集合. Mahlo基数. 正规滤子. Silver定理.

不可移动集合的一个分层. P_κ(λ)上的封闭无界滤子. 练习. 历史注释.

    9. 组合论集合论     86

    划分性质. 弱紧致基数. 树. 几乎不交集合和函数. 树性质和弱紧致基数. Ramsey基数. 练习. 历史注释.

    10. 可测基数     99

    测度问题. 可测和实值可测基数. 可测基数. 正规测度. 强紧致和超紧致基数. 练习. 历史注释.

    11. Borel和解析集合     110

     Borel集合. 解析集合. Suslin运算Α. 投影集合的分层. Lebesgue测度. Baire性质. 解析集合: 测度, 范畴以及完美集合性质. 练习. 历史注释.

    12. 集合论模型     123

    模型论回顾. Goedel定理. 模型的直极限. 归约积和超积. 集合论模型和相对化.

相对协调性. 传递模型和Δ₀公式. 正则性公理的协调性. 不可达基数的不可达性. 反映原则. 练习. 历史注释.

    部分II. 高级集合论

    13. 可构造集合     139

    可构造集合的分层. Goedel运算. ZF的内模型. Lѐvy分层. 可构造性的绝对性. 选择公理的协调性. 推广连续统假设的协调性. 相对可构造性. 序数可定义集合. 更多内模型. 练习. 历史注释.

    14. 力迫     160

    力迫条件和脱殊集合. 可分离商和完全Boolean代数. Boolean 值模型. Boolean值模型V^B. 力迫关系. 力迫定理和脱殊模型定理. 协调性证明. 连续统假设的独立性. 选择公理的独立性. 练习. 历史注释.

    15. 力迫的应用     181

     Cohen实数. 添加正则基数子集. κ-链条件. 分配性. 乘积力迫. Easton定理. 含一个条件类的力迫. Lѐvy 塌陷. Suslin树. 随机实数. 含完美树的力迫. 更多脱殊扩展. 脱殊模型的对称子模型. 练习. 历史注释.

    16. 重复力迫和Martin公理     214

    两步重复. 具有有限支撑的重复. Martin公理. Suslin假设的独立性. Martin公理的更多应用. 重复力迫. 练习. 历史注释.

    17. 大基数     227

    超幂和基础嵌入. 弱紧致性. 不可区分性. 划分和模型. 练习. 历史注释.

    18. 大基数和L     247

     Silver不可区分子. 含不可区分子的模型. Silver定理的证明和0^#. L的基础嵌入. Jѐnsen覆盖定理. 练习. 历史注释.

    19. 重复超幂和L[U]     269

    模型L[U]. 重复超幂. 重复超幂的表示. 模型L[D]的唯一性. L[D]中的不可区分子. 一般重复. Mitchell序. 模型L[U]. 练习. 历史注释.

    20. 非常大基数     291

    强紧致基数. 超紧致基数. 超越超紧致性. 扩展子和强基数. 练习. 历史注释.

    21. 大基数和力迫     310

    温和扩展. Kunen-Paris力迫. Silver力迫. Prikry力迫. ℵ₁在ZF中的可测性. 练习. 历史注释.

    22. 饱和理想     326

    实值可测基数. 脱殊超幂. 陡峭的理想. 饱和理想. 陡峭性的协调性强度. 练习. 历史注释.

    23. 非不可移动理想     351

    一些组合原则. 脱殊扩展中的不可移动集合. 非不可移动理想的陡峭性. 非不可移动理想的饱和性. 反映. 练习. 历史注释.

    24. 奇异基数问题     364

     Galvin-Hajnal定理. 序数函数和尺度. pcf理论. pcf的结构. 传递生成子和局部化. 2^ℵω上的Shelah囿界. 练习. 历史注释.

    25. 描述集合论     382

    投影集合的分层. Π¹₁集合. 树, 良定关系和κ-Suslin 集合. Σ¹₃集合. 投影集合和可构造性. 尺度和一致化. Σ¹₂良序和Σ¹₂良定关系. Borel码. 练习. 历史注释.

    26. 实数线     408

    随机和Cohen实数. Solovay实数集合. Lѐvy塌陷. Solovay 定理. Σ¹₂集合的Lebesgue可测性. Ramsey实数集合和Mathias力迫. 测度和范畴. 练习. 历史注释.

    部分III. 选取主题

    27. L的组合原则     434

    精细结构理论. 原则□_κ.  Jensen分层. 投影, 标准编码和标准参数. 砖石原则. L上的树.

$    ω_1$上的典型函数. 练习. 历史注释.

    28. 力迫的更多应用     444

    一个非可构造Δ¹₃实数. Namba力迫. 一个Cohen实数添加到一个Suslin树. Borel猜想的协调性. κ⁺-Aronszajn树. 练习. 历史注释.

    29. 更多组合集合论     457

     Ramsey理论.ω^ω上的间隙. 开着色公理.ω₁ 的几乎不交子集. ω₁到ω的函数. 练习. 历史注释.

    30. 完全Boolean代数     466

    测度代数. Cohen代数. Suslin代数. 简单代数. Boolean代数上的无穷博弈. 练习. 历史注释.

    31. 真力迫     479

    定义和例子. 真力迫的重复. 真力迫公理. PFA的应用. 练习. 历史注释.

    32. 更多描述集合论     490

    Π¹₁等价关系. Σ¹₁等价关系. 可构造实数和完美集合. 投影集合和大基数. 通用Baire集合. 练习. 历史注释.

    33. 确定性     500

     确定性和选择. AD的一些结论. AD和大基数. 投影确定性. AD的协调性. 练习. 历史注释.

    34. 超紧致基数和实数线     515

     Woodin基数. 半真力迫. 模型L(R). 不可移动塔力迫. 弱同质树. 练习. 历史注释.

    35. 大基数的内模型     524

     核模型. K的覆盖定理. L[U]的覆盖定理. 测度序列的核模型. 在一个强基数意义下.

Woodin基数的内模型. 练习. 历史注释.

    36. 力迫和大基数     532

     违反GCH于一个可测基数. 奇异基数问题.

违反SCH于ℵ_ω. Radin力迫. 不可移动塔力迫. 练习. 历史注释.

    37. Martin极大值     542

    半真力迫的RCS重复. MM的协调性. MM的应用. 反映原则. 力迫公理. 练习. 历史注释.

    38. 更多关于不可移动集合     553

    ℵ₁的非不可移动理想. 饱和性和陡峭性. 反映. P_κ(λ)中的不可移动集合. 相互不可移动集合. 弱平方. 练习. 历史注释.

    参考文献     562

    人名索引     592

    索引     598

    记号     628

注: 如果需要全文的, 请email我: yfsui@ict.ac.cn.