格林函数法是用来解非齐次微分方程的一种数学工具。其思路更像把方程的非齐次项当作齐次方程的解的“微扰”来求解方程。

考虑函数u(x)在定义域$G: x_0 \leq x \leq x_1$上的线性齐次二阶自伴（可以理解成算符取Hermite，其特殊性可参考参考书[2]的\S 5.1）微分式和与其相属的非齐次微分方程：

$$L[u] = p(x)u^{\prime\prime}(x) + p^\prime(x)u^\prime(x)-q(x)u(x)$$

$$L[u] + \phi(x) = 0$$

我们可以把非齐次项$\phi(x)$对微分方程的影响看作一系列连续分布的函数$\phi(\xi)$叠加造成的影响（就比如一个整体的带有分布的力可以看作一系列微小的力元的作用的和一样）。令$K(x,\xi)$为在$\xi$处存在的微扰对整个系统产生的影响的解，可以期望所求的解形如：

$$u(x) = \int^{x_1}_{x2} d\xi K(x, \xi)\phi(\xi)$$

其中K(x, \xi)被称为微分式L[u]的影响函数或格式函数（或Green函数）。该函数在$x=\xi$之外的点都满足齐次条件，仅在$x=\xi$满足齐次微分方程的条件。这相当于把非齐次项$\phi(x)$拆为$\phi(x) = \int^{x_1}_{x_0}\phi(\xi)\delta(x-\xi)$，通过分别求解$\phi(x)$的不同分量的方程得到影响函数，随后累加得到整个方程的解。

对于$\delta$作为非齐次项的方程的解法，很容易让我们想到量子力学中的$\delta$势下的定态Schr\" {o}dinger方程的解法。采用类似的分析方法，我们可以希望格林函数在奇点处有类似的特征，即$K(x, \xi)$在$x=\xi$处连续，但是一阶导有跃变$K^\prime_x(x,\xi) |^{x=\xi+0}_{x=\xi-0}=-\frac{1}{p(\xi)}$.通过对微分性质的限定，我们便（至少在二阶内）确定了Green函数。

补充证明：格林函数解与非齐次方程组的充分必要性。

命题：如果$\phi(x)$是区间[$x_0, x_1$]上的连续或分段连续函数，则函数$u(x)=\int^{x_1}_{x_0}d\xi K(x,\xi)\phi(\xi)$满足微分方程$L[u]=-\phi(x)$.

证明：

$u(x)=\int^{x_1}_{x_0}d\xi K(x,\xi)\phi(\xi)$

$u^\prime(x)=\int^{x_1}_{x_0}d\xi K^\prime(x,\xi)\phi(\xi)$

$u^{\prime\prime}(x) =\int^{x_1}_{x_0} d\xi K^{\prime\prime}(x,\xi)\phi(\xi) - \frac{\phi(x)}{p(x)}$

注意在上面$u^{\prime\prime}$表达式中，积分使用导数的定义在实质上避开了奇点。将它们带入微分方程，得到

$L[u] = \int^{x_1}{x_0}d\xi L[K]\phi(\xi) - \phi(x) = -\phi(x)$

命题得证

命题：如果函数$u(x)$满足微分方程$L[u]=-\phi(x)$，则解可以写作$u(x)=\int^{x_1}_{x_0}d\xi K(x,\xi)\phi(\xi)$.

证明：

参考书目：

1. 柯朗 希尔伯特 《数学物理方法 第一卷》 钱敏 郭敦仁 译. 2011科学出版社
   

2. 吴崇试 《数学物理方法专题——数理方程与特殊函数》. 2012北京大学出版社

3. Gizon, L., Birch, A.C. Local Helioseismology. Living Rev. Sol. Phys. 2, 6 (2005). https://doi.org/10.12942/lrsp-2005-6