2026年5月17号, 我去到石家庄的河北师范大学参加了CSIAM图论组合及应用专委会2026学术年会.  图形演算与范畴图论是我参会报告的题目, 副标题是图论与张量范畴学的新联系. 在这个报告中, 我想传递的信息很多, 但鉴于时间有限, 表达并不充分. 我觉得要写一个补充的介绍文章分享给更多关心图论, 范畴学, 数学物理和人工智能的研究者.

我的报告大致分为五个部分. 第一部分是背景和动机. 这一部分主要解释无穷维空间上的广义测度, 自旋网络,图和对称张量范畴为何具有内在的联系. 无穷维的广义测度和自旋网络的联系是贝兹首先找到的, 他发明了图嵌入技术, 并利用表示论中的皮特-外尔定理从哈尔测度自然得到了由彭罗斯发明的自旋网络. 自旋网络系统和对称张量范畴的联系首先隐含在文小刚和莱文的弦网凝聚模型中, 其核心发现就是刻画拓扑序的波函数重整化不动点恰好是一个张量范畴.

第二部分是介绍什么是图形演算, 主要想传达的信息是, 图=张量多项式=广义文本结构. 图对于张量的意义, 恰好如同多项式对于数字的意义. 在更广泛的意义上, 自然语言的和各种广义的文本结构也可以用图来描述.

第三部分是介绍因果网络范畴, 引入这个定义的目的是为搭建因果凝聚框架, 解释粗粒化和图形演算的联系. 对于因果网络范畴, 其最基本的结果是态射分解定理, 它指出了图形演算的六种基本约定和因果网络之间的六种基本态射之间的一一对应关系.

第四部分是介绍范畴图论的思想, 即用范畴学的语言重新定义和描述图论中的基本概念. 我发现因果网络的基本态射, 其实对应了图形中的基本操作. 这一发现直接导致了范畴minor理论的建立.

第五部分是开放问题和展望.

量子引力, 以及更一般的非微扰规范理论的基本框架都是路径积分, 其核心数学问题是定义历史空间上的积分测度.但是历史空间一般是一个非线性的, 无穷维的, 带有奇异性的空间, 在上面定义一个积分理论是一个长久以来的数学难题. 另一方面, 人工智能的主要范式就是机器学习, 其核心数学问题是高维数据空间上的统计学问题, 归根揭底还是构造高维甚至无穷维空间上的概率测度问题. 因此, 在数学上, 量子引力和人工智能面临的是同样的数学难题, 即无穷维空间上的测度的定义, 构造和刻画问题.

众所周知的, 量子引力有两个比较大的流派, 一个是延续高能物理(粒子物理)传统的弦理论流派, 另一个就是延续广义相对论传统的圈量子引力流派. 前者, 在数学领域产生了丰富的数学成果, 如超对称理论, 拓扑量子场论, 格罗莫夫-威腾理论, 等等. 后者, 其实也产生了一些重要的数学成果, 但其影响力和知名度要远远落后于前者.

在无穷维空间上的测度这个根本问题上, 其实圈量子引力的进展是显著的. 圈量子引力一直以来都是以数学严格性著称的, 只不过由于其在总体的纲领性问题上止步不前, 让大家误以为其进展不足关注. 在我看来, 贝兹构造就是其重要进展的代表. 贝兹构造是构造非微扰规范量子场论的运动学态的希尔伯特空间的一套严格数学方法. 它可以看作是格点规范理论的背景无关版本, 其核心的思想是贝兹引进的图嵌入技术. 哲学上, 我们应该把连续的时空看作离散格点系统的某种极限, 要具体地实现这种想法, 我们就要考虑所有可能图的所有可能嵌入(甚至是一般的光滑映射).

描述所有可能的图到一个时空的所有可能的映射这样一个系统, 最恰当的语言就是范畴学, 这就是后面我引进因果网络范畴和建立因果凝聚框架的一个主要动机. 按照贝兹的思路, 连续时空上场的模空间上的测度, 可以用无数多个嵌入图上的场的模空间上的测度, 和它们之间的联系来等价描述. 除了图嵌入技术之外, 贝兹的另一个重要发现就是 每一个嵌入图上的模空间的测度可以等价地用该图上的自旋网络张成的希尔伯特空间等价描述. 因此, 连续时空上场的模空间空间上的测度就可以用一系列的相互联系着的由自旋网络张成的希尔伯特空间系统所等价描述. 这是无穷维空间上的测度和自旋网络系统的自然联系.

在整个图景中起重要意义的另一基石, 就是文小刚发现的波函数重整化框架, 它指出了自旋网络系统, 对称张量范畴和量子序(拓扑序)的内在联系, 它们构成了硬币的另一方面.  量子测度, 图(自旋网络),对称张量范畴共同构成了一个完整的图像. 因果凝聚框架则是对贝兹和文小刚两个方面进行综合的纯粹范畴学框架. 但这仅仅是物理方面的故事.

在人工智能这一方面, 因果凝聚描述的则是知识的内涵和外延, 因果, 逻辑, 语义, 语法, 概念和实例之间的综合图景. 对称张量范畴不仅可以描述物理中量子序, 也同时描述知识库的范畴学结构.

这一张ppt主要介绍幺半范畴, 有的领域也称为张量范畴,的定义, 和它的广泛意义.

这一张ppt主要说明图形演算的工具就是渐进平面图, 它在图论领域也称为向上平面图.

这一张ppt主要建立了传统(经典)算术和平面(量子)算术的全方面类比, 它赋予了渐进平面图作为张量多项式的意义.

图形演算的拓扑不变性给张量多项式的相等性判定带来了极大的遍历, 但是此处的拓扑不变性容许的不是任意的拓扑同痕, 而是保持极化结构的同痕.

此处介绍恒等约定和单位约定.

此处解释图形演算的拓扑不变性不是一个人为假定, 而是张量范畴的公理结构和图形演算基本约定的自然后果.

张量范畴的图形演算只是冰山之一脚, 它只是一个完整故事的开头.

我认为对称张量范畴, 按照贝兹和斯泰的比喻, 应该视作一个人工智能领域的罗塞塔石碑. 了解现代范畴学前言的都应该知道, 类型论, 逻辑学, 语言学, 博弈论, 等, 都可以纳入到对称张量范畴这一个普遍的数学组织结构中. 人类的一切可以表达的知识, 按照其组织原则, 都可以用对称张量范畴去描述.

张量范畴的图形演算理论, 是零亏格的, 或者画在平面上的. 而对称张量范畴的图形演算则包括了所有亏格上的图形嵌入.

当然, 更加一般的结构是辫子张量范畴, 它的图形演算则更加复杂. 它的图形演算是加厚曲面(三位流形)上的虚扭结理论. 作为拓扑量子计算基石的任意子散射理论, 和费米面上的电子散射都要用辫子张量范畴描述.

此处给出对称张量范畴(也称为置换范畴)的严格定义和对称结构满足的三个约束.

由于对称张量范畴多了一个对称结构, 所以它的图形演算多了两个基本约定.

此处解释为何对称张量范畴的图形演算要涉及到因果网络在高亏格曲面上的嵌入.

因果网络就是有限的无环定向图, 它在因果凝聚框架中的直观意义就是时空中的因果过程图, 也可以理解为一个离散的洛伦兹流形.

这一个ppt介绍因果网络生成的自由范畴的概念, 其本质是图上的道路范畴.

此处介绍因果网络范畴的概念, 要点是它的态射包含了粗粒化操作.

与点粗粒化相反的概念就是精细化, 或者叫做替换. 这一概念也出现"树operad"的描述之中. 这说明点粗粒化在operad理论中是一个重要的概念.

The operad of trees is the master operad, it controls all the operads. It is actually the monad of operads.

这是边粗粒化的一个例子, 它出现在物理领域中.

此处给出参考文献,说明点粗粒化和边粗粒化在圈量子引力中是如何被解释的.

此处介绍因果网络的三种基本的单态射, 分别是重分一条边, 加一条边, 和加一个孤立点, 这三个操作都是贝兹首先引进的, 用来描述三种基本的拓扑嵌入. 它们的方向和图形演算基本约定的方向是相反的.

此处介绍因果网络的三种基本的满态射, 它们分别以几何形式表示态射的张量积, 对象的张量积和态射的复合.

此处介绍因果网络范畴的态射分解定理, 它揭示了六类基本态射和六类基本约定的一一对应关系.

此处介绍范畴图论最基本的想法, 即用范畴学语言表达图论的基本概念. 这也是范畴学在其它领域应用的思路.

范畴学作为数学的数学, 它的基本概念和定理在具体的数学领域都有具体的形式. 对图论概念进行分类的问题就变成了对图的范畴进行分类的问题, 这种系统的分类更加深刻地揭示了概念之间的联系.

minor是图论中的一个概念, 此处的问题是应该如何从范畴论的角度来理解它.

此处回顾minor的经典定义, 并用一个例子说明, 它既可以理解为子商对象,也可以理解为商子对象.

minor的经典定义, 是一个操作性定义, 删边, 删点都可以反过来用两种基本单态射来描述, 收缩也可以用一种基本满态射描述. 当把操作语言翻译为态射语言之后, 我们发现minor就是一个单满态射的zig-zag序列.

此处介绍构建广义minor理论的思想, 它起源于两个基本的观念. 一个是范畴图论的观念, 用范畴的观点定义minor. 另一个是林格尔哲学, 这是来自代数学的动机. 问题的关键在于如何建立广义minor理论的框架.

除了林格尔哲学, 其实还有其它没有提及的动机, 比如Joyce的configuration in abelian categories, Hall stack理论, 组合hodge理论, BPS代数理论等.

前面的minor例子说明, 需要把操作性定义转化为态射的语言. 而林格尔哲学则指出我们应该关注的是范畴的模掉局部对称性的整体定向性.

林格尔哲学的翻译:存在两种基本的数学结构:群和格，或者更广义地说，半群和偏序集。初次审视任何范畴时，都应重点关注这两种结构:一是对称群(例如个体对象的自同构群)，二是由适当的映射集所定义的偏序集，例如通过观察包含映射(从而处理对象所有子对象的偏序集)或可能的因子化多态映射来实现。这样，人们便能区分局部对称性与整体定向性。

此处给出范畴minor理论的框架, 它从一个minor对出发定义范畴化的minor(取值于minor对中的单, 满态射构成的zig-zag序列, 满射向左, 单射向右, 这是一个直观的从左往右越来越大的序列, 左小右大). 关键的思想是, 我们还需要模掉七种规范等价关系, 这七种等价关系可以看作是局部对称性. 因为林格尔哲学的目的就是要对局部对称性和整体定向性进行分离. 分离的结果是我们得到了以对象的同构类为对象, 以范畴minor的等价类为态射的无环范畴, 这个范畴叫做minor模范畴(category of moduli of minors)

无环范畴是偏序集, 因果网络的共同推广, 它的相伴群胚是一个离散范畴, 是一个局部对称性平凡的范畴.

此处我们给出几个范畴minor理论的例子, 说明minor模范畴并不一定是一个偏序集, 它的态射集有可能非平凡.

此处给出了几个开放的问题. 特别值得关注的是量子语言信息处理和因果凝聚的联系.