作者: 马中骐,  原文链接:基本的问题就是重要的问题 | 感谢杨先生的教导

1982年2月我通过了高能所为我举办的博士论文答辩，3月获得中国自己培养的第一份博士证书。当时很想找机会到国外进一步学习，了解先进国家开展科研工作情况，包括选题，交流，甚至科研的气氛和环境。

机会终于降临了。杨振宁先生从香港募集到一些基金，称为Committee for Educational Exchange with China (CEEC)，每年可支持10位中国访问学者去纽约州立大学石溪分校学习和工作。1984年我非常荣幸地被选中，获得一份奖学金(a Fung King-Hey fellowship) 的支持，去石溪分校访问。还在1957年我上大学二年级，得知杨李荣获诺贝尔奖的消息开始，杨先生就成为我心中的偶像。现在真正能够实现在物理学大师身边学习和工作，我感到无比兴奋和激动，简直有点像做梦的感觉。

1. Levinson定理

1984年9月24日星期一，我在石溪分校第一天上班，到杨先生的办公室里拜见杨先生，心情很激动和紧张。按惯例我向杨先生汇报我的访问计划，想继续我的博士论文，做磁单极理论方向的研究，同时也想深入研究量子力学基本问题之一的 Levinson 定理。这是因为我知道杨先生曾鼓励中国物理学家研究 Levinson 定理。

杨先生听后教导我说：“磁单极理论当然可以做，但只是跟着别人后面做做而已。但Levinson 定理就不一样了。Levinson 定理是基本的问题。什么是重要的问题？基本的问题就是重要的问题。”这句话成了我一生的座右铭。在可能的条件下，我将尽力找基本的物理问题进行研究。

杨先生接着说：“我最近有一个重要的新发现，发现Sturm-Liouville 定理的基本技巧就是定义一个随能量单调变化的相因子。这方法用在磁单极理论上很有效，相信用在 Levinson 定理的证明上也一定有效。”他随手给我一本小册子 [1]，介绍他在意大利的里雅斯特（Trieste）所做关于磁单极理论的学术报告，供我学习参考。

这本小册子报告杨先生用他的新发现研究磁单极理论的最新成果。文章只有五页纸，极度简单抽象，我反复阅读还是不知所云。9月28日杨先生来到我的办公室关心我的研究进展。我如实说出我的困难。杨先生让我跟着去他的办公室。办公室有一面墙摆放一个大柜子，上有一排排的抽屉，逐年存放着杨先生每年的研究文章和计算稿。他抽出那本小册子有关的计算稿，交给我复印后学习。一共133页。当时我就被深度震撼。物理学大师为写一篇短短 5 页纸的小文章，需要有133页草稿来支撑。

我认真学习了杨先生的计算稿，深入理解杨先生新发现的实质和优越性，重新计算和研究量子力学的 Levinson 定理，体会到杨先生的方法物理图像清晰，物理意义明显，简单明了，直截了当。以前因为数学计算的困难，使Levinson定理的条件不必要地加严了。现在用了杨先生的方法，放宽了Levinson定理的条件，结论也被推广而包括了某些临界情况[2]，还把 Levinson 定理推广到相对论的 Dirac 方程 [3]，纠正了前人曾给出的一些错误结论。由于计算大大简化了，我关于Levinson 定理的证明和推广，被引入量子力学教科书中介绍 [4]。我还被邀请发表Levinson 定理的研究总结文章 [5]。

因为这工作是杨先生选题，杨先生提供了原始方法和新思想，在杨先生的直接指导下完成的，所以我期盼和杨先生合作发表文章。但是杨先生婉拒了。在杨先生九十寿辰庆祝会上，吴大峻先生介绍他年轻时在杨先生指导下做的工作，杨先生也都不署名，一直到吴先生被聘为哈佛教授后，合作的工作才一起署名。原来不署名正是杨先生对年轻人的爱护。杨先生是把这样一个重要的原始想法，连同研究成果，一起赠送给我这样一个初入科研领域的年轻人了。

以后，在杨先生的指导下，我还努力完成了几个“基本问题”的研究工作。

2. 量子群理论

1988年杨先生回国介绍扭结（knot）和环节（link）理论，辫子群理论和量子群理论。按照杨先生指引的方向，侯伯宇教授，侯伯元教授和我合作，用物理学家熟悉的角动量理论来理解量子群理论，认真计算量子群的Clebsch-Gordan 系数，Racah 系数和相应的量子3-j 符号和 6-j 符号。使物理学家更容易理解量子群理论，受到物理学家的欢迎。我把这些研究成果写成专著出版[6]。

3. 转动自由度的分离

1999年我在清华高等研究院听取了项武义教授的报告。对孤立的N 体系统，质心运动可以和内部运动分离开来，得到只与 (3N-3) 个内部坐标（称为Jacobi 坐标）有关的运动方程。但项教授说，因为欧拉角微商有奇异性，系统整体转动和内部运动还没有成功地分离开来。项教授报告说，他已经很好地解决了孤立的三体系统转动自由度和内部运动的分离问题，而且希望对孤立的四体系统，以至于N 体系统，把转动自由度和内部运动也分离开来，得到只与 (3N-6) 个内部坐标有关的径向方程。事实上，物理学家C. Schwartz 已经在1961年得到过项教授关于孤立三体问题的研究结果[7]。但对 N 体系统，转动自由度分离的问题一直没有很好解决。这显然是一个基本物理问题。我带领学生经过两年多的研究，彻底解决了物理学上这一基本问题[8]。除了大量的群论计算外，关键的一步是在计算中，对角动量本征函数，我们采用球谐多项式来代替球谐函数，从而避免了欧拉角微商带来的奇异性。

4. 精确的量子化条件

在物理学发展史上，精确解起过十分重要的作用。有氢原子（库

伦势）或谐振子势的Schrödinger 方程的精确解直接支持了量子力学的创立。以后陆陆续续还发现了十几个势场，有这些势场的Schrödinger方程存在精确解。上世纪八十年代提出的超对称量子力学发现这些势场满足形状不变势 (shape invariant potential) 条件，提出这样的势场存在一个不变量，但没有具体给出这不变量 [9]。用超对称量子力学的方法可以统一地解出所有这些精确解[10]。

在量子力学发展初期，Bohr-Sommerfeld 量子化条件起到经典力学和量子力学间的桥梁作用，但这量子化条件只对个别量子系统成立。杨先生在1984年给我的小册子和计算手稿中 [1]，强调“Sturm-Liouville 定理的基本技巧就是定义一个随能量单调变化的相因子。”对Schrödinger方程，这个相因子就是波函数的对数微商。反复阅读和理解杨先生的手稿，体会杨先生的新思想，许伯威和我把波函数换成波函数的对数微商，Schrödinger 方程就变成了Riccati 方程。从Riccati 方程我们导出了一个精确的量子化条件，和Bohr-Sommerfeld量子化条件相比增加了一个积分项。而超对称量子力学中有形状不变势的量子系统，这个积分项就是不依赖能级的不变量。由于用基态能级很容易计算出这个不变量，从而就可以计算出所有能级的解。在计算中反复用到波函数对数微商随能量单调变化的性质。对书[10] 中列出的全部有精确解的势场，我们用精确的量子化条件重新而且更简单地计算出了这些系统的精确解 [11,12].

5. 冷原子理论

在1992年七十寿辰庆祝会上，杨先生总结自己一生最重要的三大科研成果，其中第三个成果就是他在1967年完成的一项奠基性的工作 [13]：有排斥 δ相互作用的一维多体系统精确解。在这工作中提出了 Yang-Baxter 方程，由此方程诱导出了数学上称为量子群的新分支。这工作在凝聚态理论中有重要应用，但总的来说在物理上还没有得到充分的发展。文章[13] 写得非常简略，很多人觉得很难读懂。既然这文章中提出了 Yang-Baxter方程，作为量子群理论的起源，我在写量子群专著中 [6]，用物理学家熟悉的语言，详细推演了文章 [13] 的计算细节。这可能是这本书至今还有销路的原因。现在回头看，因为我当时对杨先生文章末的 Fredholm 方程重要性认识不足，而且杨先生文章的最后部分已经指出了推导Fredholm方程的方法，所以我的书中没有叙述和讨论Fredholm 方程的推导细节，留下了遗憾。

二十一世纪随着低温实验技术的提高，推动了冷原子物理的发展。杨先生的精确解 [13] 得到了实验的直接验证。当然实验上要把多体系统压缩到一维体系，必须引入外势场。最简单的外势场是谐振子势。就是除了接触相互作用外，粒子还必须有谐振子势的相互作用。既然方程式修改了，精确解就要重新计算。2008年北京物理所陈澍教授向我提出，在强接触相互作用的极限下，如何计算这系统能级的精确解。这是一个纯粹的群论问题，而且又是一个基本的物理问题。作为合作，我从数学角度找到了这问题的精确解[14]。

2009年我去清华大学高等研究院介绍我们的新工作。杨先生当然有兴趣知道他的重要工作已经得到实验检验，他认为新系统不仅在强接触相互作用的极限下有精确解，而且在粒子数趋于无穷大时也应该有精确解。以八十七岁的高龄，杨先生在三年时间内发表了七篇文章，我很幸运有机会在杨先生的直接指导下，与杨先生合作署名完成了其中的五篇文章。后来杨先生又提出一个新问题，指导管习文教授和我开展研究。做新工作的情况，管习文教授在他的文章“归国”中有详细的描述。这三年能得到杨先生的直接指导和合作，我感到非常幸运和兴奋。我曾做报告[15] 介绍这些工作和我的感受，这里主要谈在大师近距离指导下我的体会和收获。

杨先生曾归纳他的科研工作为3P 规则：Perception，Persistence 和 Power。经过这三年和物理学大师的近距离接触，我对3P 规则有了全新的认识。

以前理解Perception 是有眼光。杨先生是物理学大师，能够站得高，看得远，发现重要的物理问题，抓住物理的本质。现在知道杨先生看到的问题，我们普通人也能看到，问题是如何提炼出来，充满信心地深入研究。在做这组工作的开始，杨先生就看到“在粒子数趋于无穷大时应该有精确解”，而且充满信心地去找出精确解。而我看到这问题，就觉得这只能数值求解，连尝试一下的信心都没有。

以前理解Persistence 是坚持。做理论物理都需要勤奋和坚持，但是和杨先生相比，觉得自己的差距确实很大。这次我们的讨论都是把手稿编成PDF 文件，用 email 传送。从 PDF 文件中可以明显看到杨先生搞科研的激情。稿子中经常出现“虽然计算过程可能还有问题，但结果一定是对的！！！”杨先生以近九十岁的高龄，发来的email，早的是早晨六点，晚的是半夜十一点后。两三天就有新的修改稿寄来。只有这样的激情才能克服困难，取得突破。

以前理解 Power 是能力。理论物理科研要取得成绩，当然需要能力。这次看到杨先生做科研，是积累了大量别人的研究结果随时调用，他有站在巨人肩膀上的能力。

还有一件小事使我感触很深。作为物理学大师，对我们完全是平等相待。2011年春节初一早晨杨先生发来email，表示想邀请吴大峻先生加入我们的合作团队。那天我忙于过春节，没有看email。一直到晚上才打开计算机，发现杨先生就这样的小事，已经和管习文教授几次交换意见，杨先生表示一定要等马中骐表态后才能向吴先生发出邀请。我很受感动，马上发信表示同意。

6. 结语

回顾我的一生，我很幸运。能够在物理学大师杨先生的直接指导下开展科研工作，按照杨先生的启示，努力寻找物理学的基本问题进行研究，尽自己所能做自己喜爱的理论物理工作。杨先生永远是我的偶像，我会继续努力开展基本物理问题的研究。深深感谢杨先生的教导。敬祝杨先生健康长寿！

文献

[1] C. N. Yang, in: N. S. Craigie, P.Goddard, W. Nahm (Eds), Monopoles in Quantum Field Theory, Proceedings of the Monopole Meeting, Triests, Italy, World Scientific, Singapole, 1982, p.237.

[2] Z. Q. Ma, Proof of the Levinson theorem by the Sturm-Liouville theorem, J. Math. Phys. 26 (1985) 1995.

[3] Z. Q. Ma, Levinson's theorem for Diracparticles with a long-range potential, Phys. Rev. D32 (1985) 2213.

[4] G. Esposito, G. Marmo and G. Sudarshan,From Classical to Quantum Mechanics, Cambridge University Press, Cambridge,2004.

[5] Zhong-Qi Ma, The Levinson theorem, J.Phys. A: Math. & Gen. 39 (2006) R625.

[6] Zhong-Qi Ma, Yang-Baxter equation and quantum enveloping algebras, World Scientific, Singapore, 1993.

[7] C. Schwartz, Lamb shift in the heliumatom, Phys. Rev. 123 (1961) 1700.

[8] Xiao-Yan Gu, Bin Duan and Zhong-Qi Ma,Independent Eigenstates of angular momentum in a quantum N-body system, Phys.Rev. A 64 (2001) 042108 (1-14).

[9] O. L. de Lange and R. C. Raab, Operator Methods in Quantum Mechanics, (Oxford: Clarendon Press), 1991.

[10] F. Cooper, A. Khare, U. Sukhatme, Phys.Rep. 251 (1995) 267.

[11] Zhong-Qi Ma and Bo-Wei Xu, Quantum correction in exact quantization rules, Europhys. Lett. 69 No.5 (2005)685.

[12] 马中骐和许伯威, 精确的量子化条件和不变量, 物理学报, 55 No. 4 (2006) 1571.

[13] C. N. Yang, Some exact results for the many-body problem in one dimension with repulsive delta-function interaction, Phys. Rev.Lett. 19 (1967) 1312.

[14] Liming Guan, Shu Chen, Yupeng Wang, andZhong-Qi Ma, Exact solution of infinitely strongly interacting Fermi gases intight waveguides, Phys. Rev. Lett. 102 (2009) 160402.

[15] Zhong-Qi Ma, New Contributions to Physics by Prof. Yang: 2009--2011, Proceeding of the Conference on 60 Years of Yang-Mills Gauge Field Theories, C. N. Yang's Contributions to Physics, Eds. LBrink and K. K. Phua, World Scientific, Singapore, 2016, P.499.