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什么是因果凝聚框架

因果凝聚框架[Lu25]是关于对称幺半范畴(也称为置换范畴)的一般构造, 它把对称幺半范畴等价地翻译为因果网络范畴上的余层结构, 并通过左 Kan 扩张得到范畴-函子范畴上的因果凝聚函子. 关于因果凝聚框架定义的细节可以参看文献[Lu25].  对称幺半范畴和因果余层的一一对应可以理解为是对称张量范畴的nerve定理, 是小范畴的格罗滕迪克-西格尔nerve定理[Gro60, Seg68]的平行推广, 把定向线图的范畴推广到因果网络范畴. 把对称幺半范畴解释为因果网络范畴上的余层(左连续函子或者保余极限的函子)与把小范畴(small category)解释为满足西格尔(Segal)条件的单纯集(E_1空间或局部常值的一维因子化代数)是完全相似的套路. 在某种意义上, 我们也可以说对称张量范畴是因果网络范畴的(余)连续表示.

[Lu25] Xuexing Lu, A category of causal-nets, 2025.

https://www.academia.edu/125836946/A_category_of_causal_nets. 

[Gro60] Alexander Grothendieck, FGA 3.III. Quotient preschemes,1960.

[Seg68] Graeme Segal, Classifying spaces and spectral sequences, 1968.

 因果凝聚框架揭示了因果网络和对称幺半范畴的天然联系, 为因果性的科学研究开拓了全新的维度. 在相对论中, 因果网络表示的是物理因果过程, 是扭量(光线)的网络; 在量子力学中, 对称幺半范畴表征了量子信息过程; 在凝聚态物理中, 对称幺半范畴表示材料的量子序.如下图所示, 在对称幺半范畴, 因果余层和因果凝聚函子之间应该是一一对应的关系, 我们把这一结论称为"知行合一定理", 并把它看作是智能科学的基本原理之一. 直观的理解就是, 对称幺半范畴相当于一个百科全书, 是一个浓缩的知识库; 因果余层则刻画了知识库中的知识按照因果关系的结构进行分类的过程; 每一个范畴则相当于学生的头脑, 因果凝聚函子描述的则是每一个学生对知识库进行学习后得到结果. 对知识库中的所有知识进行展开的过程, 可以用格罗腾迪克构造描述. 我们也可以把对称幺半范畴理解为量子信息, 每一小范畴理解为语境, 因果凝聚函子则表示量子信息在每一语境中的意义, 以及在不同语境之间的转换关系. 这些在不同领域内的意义将在后文中将详细展开. 

因果凝聚框架的建立基于四个基本创新, 一是因果网络范畴Cau的定义, 二是图表的规范等价概念的引进, 三是图论基本定理的证明, 四是粗粒化的余等化子刻画. 这四个创新共同支撑了"置换范畴=因果余层"的重要结论.

因果网络范畴的核心要义在于因果网络态射的定义. 因果网络之间的态射被定义为它们自由生成的道路范畴(自由范畴)之间的函子, 这样定义的好处是其态射可以自然地编码粗粒化(包括边粗粒化 , 点粗粒化, 边收缩, 点合并),嵌入, 重分, 删除边, 删除点等几乎所有的基本图论操作. 因果网络范畴也可等价地理解为是范畴monad的克雷斯里范畴(Kleisli category). 因果网络范畴是Cat的全子范畴. 因果网络范畴的构造可以推广到定向图(Quiver)范畴和无向图范畴的情形, 为范畴图论的发展奠定基础. 为了把对称张量范畴的因果图表集解释为因果网络范畴上的函子, 需要把对称张量范畴的对称结构理解为因果图表的规范对称结构. 因果图表的规范等价类才代表真正的物理过程. 规范等价性确立了因果余层的良定性. 对因果网络范畴中态射的分类研究, 导致了图论基本定理的发现. 它指出因果网络范畴中恰好有六类基本态射(不可分解态射), 它们表示了六类基本的图论操作, 每一个态射都可以(不唯一)分解为这六类基础态射的复合. 这六类基本态射恰恰又对应于图形演算理论中的六类基本约定. 图论基本定理反映了一个基本事实, 即从因果网络范畴, 图形重写规则和图形演算理论其实是看待同一事物的三个不同视角, 它们具有内在的统一性.

因果网络范畴中的六类基本态射可以分为三个子类, 第一个子类叫做基本重分, 它重分一条边, 即在一条定向边的中点加入一个顶点, 把这条定向边变为一个长度为2的定向路径, 这个过程对应于图形演算中的恒等约定. 第二个子类叫做基本嵌入, 它有两种类型, 一种叫做加边操作, 它在两个顶点之间引入一条定向边, 对应于图形演算中的单位约定; 另一种叫做加点操作, 它在图形中加入一个孤立点, 对应于图形演算中的单位约定和恒等约定的联合. 这三种类型的操作都是Baez在其自旋网络态的构造中引入的. 第三个子类叫做基本粗粒化, 它包含三种类型: 合并两个顶点, 合并两条平行边以及收缩一条边, 在图形演算理论中, 分别表示态射的张量积, 对象的张量积和态射的复合. 在合并顶点和合并平行边的情形, 其代数语义具有歧义(张量积的顺序性), 这和因果网络上的极化结构和图表的规范等价概念相关. 

因果凝聚框架提供了一个研究对称张量范畴的全新范式. 事实上, 根据网络类型的不同, 存在三个平行的框架. 如下图所示, 存在三种基本的网络类型, 分别为有向无环图(因果网络), 有向图(箭图或定向网络)和无向图(无向网络), 它们的连续表示分别是对称幺半范畴, 带迹的对称幺半范畴和自对偶的对称幺半范畴. 相应的框架, 分别称为因果网络凝聚(简称因果凝聚, 或称贝叶斯凝聚), 自旋网络凝聚(简称旋网凝聚或称弦网凝聚)和无向网络凝聚(简称图凝聚,或称马尔可夫凝聚).

因果凝聚是贝兹构造的范畴化

无限维空间上分析, 特别其上的测度问题[Yam85]是一个横跨数学, 物理, 人工智能等多个领域的主题. 贝兹构造和因果凝聚都可以看作这个主题之下的工作. 因果凝聚是贝兹构造的自然的范畴化. 在无限维空间上的测度问题这个大背景下理解贝兹构造和因果凝聚是一个非常自然的选择, 这样有利于理解为什么因果凝聚会和量子引力, 人工智能, 量子信息, 量子基础有根本的联系. 下图粗线条地给出了贝兹构造和因果凝聚的历史渊源和逻辑必然性. 下面的说明将围绕该图展开.

1933年, 柯尔莫哥洛夫公理化了概率论[Kol33], 把概率理解为特殊的测度, 把概率论置于测度论的公理化框架之下. 柯尔莫哥洛夫扩张定理[2], 也称柯尔莫哥洛夫一致性/相容性定理, 是随机过程理论的基石, 是构造构造无限乘积空间和路径空间上概率测度的基本方法, 它证明了无限乘积空间上概率测度和有限维因子概率空间一致族的等价性, 确立了随机过程的理论与现实基础. 柯尔莫哥洛夫扩张定理有两种范式, 一种采用投影极限的形式, 一种采用的是 sigma 代数族的形式. 前者更倾向于范畴论的泛性质特点, 后者需要利用 Carathéodory 延拓程序.除了无限乘积空间和路径空间之外, 联络模空间是数学物理中另一类重要的空间. 联络模空间是非微扰量子规范理论研究的出发点. 对任意李群和主丛, 其上的联络空间是一个无穷维仿射空间, 在无穷维的局域规范变换群的作用下, 其商空间一般是无穷维的非线性的奇异空间, 称为联络模空间. 非微扰量子规范理论的根本问题就是定义和计算联络模空间上的量子测度和观测量之间的关联函数, 这个范式称为路径积分或历史求和, 是量子场论的一个根本的范式. 随机过程理论相当于量子力学, 是一维的量子场论, 而因果凝聚则相当于任意维的, 非微扰的, 背景无关的量子场论.

在数学物理领域, 联络模空间的研究有了一些根本性的进展. 这些进展具有三大特色, 第一是大量地使用了泛函分析和非交换几何的框架和技术, 第二是对投影技术在非线性情形进行了推广, 第三就是对格点规范理论的思想借鉴和图嵌入技术的使用. 粗线条地讲, 在1992年, 阿什台卡和伊沙姆[AL92]首次严格定义了联络模空间上的观测量代数(和乐代数), 证明了它是一个交换的星闭代数(C*代数).  利用盖尔范德的谱理论(盖尔范德对偶), 观测量代数的盖尔范德谱给出了联络模空间的完备化空间(广义联络模空间), 这是一个紧致的拓扑空间, 观测量代数可以解释为其上的连续函数. 经典的光滑联络模空间可以自然地嵌入到这个完备化空间之中, 这一过程有一点像从有理数域完备化为实数域. 利用著名的GNS构造(或RMK定理), 他们证明观测量代数的任何循环表示都酉等价于广义联络模空间上关于某一个正规测度的平方可积函数空间(是一个希尔伯特空间, 内积由测度确定). [AL92]开启了严格化定义圈量子引力的纲领.

在1993年, 阿什台卡和莱万多斯基[AL93]首先建立了广义联络模空间和Hoop群表示的一一对应关系, 完整地刻画了解析和乐代数的盖尔范德谱. 然后, 利用群流形上的哈尔测度和投影技术, 定义了广义联络模空间上著名的阿什台卡-莱万多斯基测度, 它是一个正规测度, 也是解析和乐代数上的一个具有解析同胚不变性的广义测度(正连续线性泛函). 这一理论表现出了很好的代数化特征, 特别是在刻画广义联络模空间和使用投影技术这两个方面.阿什台卡-莱万多斯基测度可以用其解析同胚不变性唯一刻画[OL03].

[OL03] 奥克洛夫, 莱万多斯基, Diffeomorphism covariant representations of the holonomy-flux ⋆-algebra, 2003.

在1993年, 贝兹[B93]发明了图嵌入技术.  他用此技术定义了联络模空间上一大类具有微分同胚不变性的广义测度. 在1994年, 贝兹[B94-1]借鉴了格点规范理论的思想, 把图嵌入技术和投影技术自然地结合起来系统地定义了联络空间上的"勒贝格测度"和规范群空间上的"哈尔测度". 他用所有嵌入图上的一致有界相容的测度族刻画了联络空间, 规范群空间和联络模空间上的广义测度, 并定义了它们之间的卷积. 

在[B94-2]中, 贝兹更进一步发展了他的图嵌入技术, 导出了自旋网络态. 利用紧群的皮特-外尔定理, 他把嵌入图上的诱导哈尔测度等价地用嵌入图上的自旋网络态张成的希尔伯特空间来表示, 每一个图上的自旋网络态都构成一个标准正交基. 不同嵌入图上的测度间的相容关系(一致条件)等价地被描述为自旋网络的图形演算, 并进一步等价地刻画为希尔伯特空间的等距嵌入关系. 在文章的最后, 贝兹简要提到了自旋网络的范畴论解释：联络可视为从和乐群胚到结构群G的函子，规范变换是自然变换，而自旋网络态对应于表示范畴中的构造. 因果凝聚框架就是这个范畴论解释更进一步的全面发展.

完备化和投影极限可以交换.

贝兹构造的两个基本创新是图嵌入技术和自旋网络构造. 除此之外, 它还有明显的微分同胚协变性以及关于结构群的函子性.微分同胚协变性使得时空的微分同胚群在贝兹构造的运动学态希尔伯特空间上具有自然的酉作用. 自旋网络的存在强烈暗示它与张量范畴具有潜在的关系. 图嵌入的一致性显示了贝兹构造的函子性. 贝兹构造的应用在杨米尔斯理论方面, 相当于定义了背景独立的格点规范理论, 在广义相对论方面, 相当于定义了扭量网络或者因果网络的凝聚理论. 贝兹构造在数学上是严谨的, 也符合主要的物理原理, 其真实的物理有效性可能还需要揭示其背后的重整化机制(恰好是弦网凝聚背后的波函数重整化框架). 

[Yam85] Yasuo Yamasaki(山崎保代), Measures on Infinite Dimensional Spaces, 1985.

[Kol33] 柯尔莫哥洛夫, Foundations of the Theory of Probability, 1933.

[AS92] 阿什台卡, 伊沙姆, Representations of the holonomy algebras of gravity and non-Abelian gauge theories, 1992.

[AL93] 阿什台卡, 莱万多斯基, Representation Theory of Analytic Holonomy C∗ Algebras, 1993.

[B93] 约翰.贝兹, Diffeomorphism-invariant generalized measures on the space of connections modulo gauge transformations, 1993.

[B94-1] 约翰.贝兹, Generalized measures in gauge theory, 1994.

[B94-2] 约翰.贝兹, Spin Networks in Gauge Theory, 1994.

虽然贝兹在[B94-2]中提到了广义联络, 规范变换, 自旋网络的范畴学解释, 但也只是揭开了冰山之一角. 贝兹构造的完全范畴学解释需要因果凝聚框架.

自旋网络在数学物理中广泛出现, 最早彭罗斯引进这个概念, 作为量子几何的组合模型, 后来洛韦利和斯莫林在圈量子引力中重新发现了这个结构. 在拓扑场论, 凝聚态物理中, 自旋网络都是自然出现的. 理所当然, 也是众所周知的, 自旋网络都是群的表示范畴中的弦图(string diagram), 但是一个几乎没有人强调的事实是, 并非所有的弦图都是自旋网络. 自旋网络是表示范畴中的非常特殊的弦图, 其特殊性在于其边的标记对象都是不可约表示. 一般的弦图对其边的标记对象没有任何限制. 一个自然的问题就是, 那些不是自旋网络的弦图的物理意义是什么? 为什么只有自旋网络这样特殊的弦图出现在物理理论之中? 回答这个问题的关键就是粗粒化. 事实上, 每一个自旋网络经过粗粒化之后一般都不再是自旋网络, 而是可以表示为一系列自旋网络的线性叠加的一般弦图; 反过来, 每一个一般弦图在表示范畴中都可以精细化为一系列自旋网络的线性叠加.

在贝兹构造中, 只有图的嵌入和重分关系被考虑到, 图之间的粗粒化和精细化关系并没有被考虑到. 引进因果网络范畴的首要动机就是为了形式化因果网络之间的粗粒化关系.

图嵌入技术的函子性在贝兹的范畴论解释中没有被重分的阐释. 一个图或因果网络在时空中的嵌入, 自然地会诱导一个从时空上的联络模空间到图上的联络模空间的拉回, 这是一个连续映射, 代表的是一种粗粒化过程. 这个拉回的实质就是把时空上的联络拉回成为图上的联络. 因为(广义)测度是一种共变对象, 这里联络的拉回映射自然诱导时空上的模空间的测度前推到图上的模空间上去. 这里的前推和拉回, 和赋范代数的完备化, 盖尔范德对偶等泛函分析构造是相容的. 进一步的, 模空间的拉回映射(粗粒化)和(广义)测度自然诱导了平方可积函数空间的等距嵌入.

贝兹构造本来只是考虑了图之间的嵌入和重分关系, 并没有考虑粗粒化关系.因此在贝兹的本来构造中, 联络的拉回都是忠实的, 不会出现简并的情形. 为了把粗粒化关系纳入进来, 需要对贝兹构造进一步拓展. 

图的嵌入以及它们之间的嵌入, 重分, 粗粒化关系生成一个范畴(因果网络范畴). 如果把图看作是一个拓扑空间, 嵌入映射是连续映射, 那么, 对于每一个时空X,这样的系统实际上就构成一个拓扑空间和连续映射的范畴(时空范畴)中的一个逗号范畴(关于嵌入函子和时空X).

还有一个需要处理的技术性问题. 在贝兹的原初构造, 图被视为一种拓扑对象, 在考虑图的时空嵌入问题, 有很多拓扑和分析性的问题需要考虑, 这也导致了很多艰难的研究. 为了回避拓扑和分析的困难, 我们采用一种组合的,或者代数的观点, 把图或因果网络理解为一种组合对象, 把拓扑和分析问题的难题转移成道路函子的选取问题.

一旦我们了解了对每一个时空其图嵌入系统本质上是一个逗号范畴, 接下来范畴学的抽象废话就会告诉我们应该考虑Kan扩张了. 一旦我们在因果网络范畴上定义了一个函子F, 那么自然地我们就可以考虑这个函子在时空范畴上的Kan扩张了.

贝兹构造可以解释为一种特殊的因果凝聚, 只需要把对称幺半范畴取成结构群G的表示范畴Rep(G)即可. 一旦我们具体的求解Kan扩张, 就会发现本来出现在因果余层(或因果代数)中的一般弦图都需要精细化为自旋网络.

总结一下, 原初的贝兹构造, 在经过拓展化和组合化之后, 恰好可以形式为一个纯粹范畴学的构造, 它的图嵌入系统可以解释为嵌入函子和道路函子的逗号范畴, 自旋网络构造可以解释为结构群G的表示范畴所对应的因果余层, 而投影极限技术则恰好被解释为因果余层相对于嵌入函子的左Kan扩张.