水利学者郭俊克经验谈——水文学中的理查兹（Richards)悖论

郭俊克

2024年10月27日

　　在科学上，悖论是指一个自相矛盾，不能自圆其说，或与实际不符的理论。幽默一点地说，就是一本正经地胡说八道。一本正经，是说，它有严密的逻辑推理；胡说八道，是说，它的结论与事实不符或证明自己前言不搭后语。

　　科学上有不少著名的悖论，这些悖论的解决往往使科学向前推进一大步。流体力学中的“达朗贝尔悖论”就是一个例子。先前，人民觉得流体粘性很小，就把它忽略掉了。可是，忽略后，人们得出结论：物体在流体中运动没有阻力。这明显与事实不符。

　　到了1904年，Prandtl 提出了边界层理论，说，流体粘性是很小，只要离开固体壁面，在不远的地方就可以忽略；但不能在壁面附近忽略。就这么一个发现，解决了达朗贝尔难题。从此，飞机飞上天了；轮船跑得快了；河流整治也有理论根据了。

　　我们今天要说的是一个统治水文学下渗研究快一百年的“理查兹悖论”。这个悖论你肯定没有听说过，因为它这周才被老郭提出，昨天才送美国土木工程学会的《水文工程学报》发表。

　　1931年，美国学者理查兹建立了一套土壤下渗理论。这个理论包括一个水流在土壤孔隙中流动的质量守恒定律，和一个经验公式，达西定律。因为达西定律是在恒定流情况下得到地，没有加速度。因此，理查兹理论的前提是下渗速度很慢，漫到加速度可以忽略不计。

　　根据理查兹理论，大量的下渗研究论文发表了。这些论文无一例外地表明：如果对其解(下渗速度)，进行微分就得到了加速度。让人惊奇的是，这个加速度并不小，在下渗开始时甚至达到无穷大。这明显与理查兹的前提条件不符。因此，理查兹理论是一个自相矛盾的理论。我们叫这个自相矛盾为“理查兹悖论”。

　　那么，如何解决理查兹悖论呢？很简单，霍顿的指数下渗定律也证明下渗加速度（其实是减速度）很大，因为下渗速度从初速度很快下降到临界速度。因此，只要在运动方程中加入加速度即可。这样，老郭和成功大学的詹钱登教授一起，用孔隙流动的动量方程代替了原来的达西定律。结果，得到了一个非常简单的“广义下渗定律”。这个新的定律在层流下渗时就简化为经典的霍顿定律。

　　高大上一点，这个新的模型因为考虑了加速度的影响，因此是一个动力学模型；而理查兹理论因为没有考虑加速度的影响，因此是一个扩散模型。理论上，动力学模型比扩散模型好，野外资料证实，确是如此。

　　现在，水文学不仅有广义单位线模型，还有一个广义下渗定律。这两个新定律不仅使流域模拟简单化了，更使其理论上了一，层，楼！