重力场下球内压力、力位、浮力计算并兼简说地球动力问题

李务伦

吉林省煤田地质局二〇三勘探队

1、引言

中学物理和普通大学物理中，重力一般取值为9.8m/s²，为方便计算取值为10m/s²，该值与地球纬度是什么关系教材没有涉及。即便在一般的地球物理教材中一提就是重力场，至于重力场是什么？具体与哪些参数有关，除少数搞地球科学学者关注、知道以外，一般搞应用地球物理学者都很少关注、搞地质学的我估计应更少，而搞地球动力学的主力军恰是搞地质学的学者。这种情况下对地球动力学朝向正确方向研究，不受影响是不可能的。下面我就我的思考写出来，我执弟子之礼请大家批评指导！关于重力含义，傅承义院士在《地球物理学基础》中，在其撰写的第二章第九页有如下的原话陈述：“地球的重力主要是的是引力和自转离心力之和，（日、月的引潮力要小的多，暂时可以忽略不计）”。之前笔者在分析球内压力、力位及浮力的形成过程中自转作用始终没有涉及，但现实所有学科只要涉及力场张口就是重力场，所以下面依照前面傅承义先生的陈述分析引力强度和自转离心力强度叠加后对压力、力位及浮力的贡献和表达，以弥补之前《地球系统力学动力学》等中之缺失。

2、合力强度压力、力位、浮力的计算

在《地球系统力学动力学》第四部分质点合力强度方程，业已证明为椭球方程，但关于压力、力位、浮力均均在引力强度下进行了讨论，下面在引力强度与离心力强度二合力强度下讨论。在图1中，球绕y轴以均匀角速度ω旋转，球的密度均匀为ρ，球最大半径为R。球内圈定有两相同旋转球台，内外半径分别为r₁、r₂，旋转角为β。之前旋转球台以下三个参数公式已算出，抄录如下。

旋转球台的体积为：……（1）

旋转球台的质量为：……（2）

旋转球台的质心表达式：……（3）

球内任一点引力强度：……（4）

球内任一点离心力强度：（φ为r与z轴的夹角）……（5）

图1球中任一质点上存在引力强度和离心力强度，前者指向球心，后者垂直y轴并指向球外。根据目前重力均与地面垂直和之前推出的合力强度线方程，以地球的平均密度与目前自转速度粗估算，合力强度线基本为直线；又根据目前地球两极半径与赤道半径相去无几，下面的计算仍按正球体计算。

图1

2.1、球内压力计算

球内任一点引力强度和旋转强度的合力强度已证明为椭球方程，是地球及一切旋转星球为椭球的物理理论基础。下面的重力遵守前面的约定仅涉引力强度和离心力强度。

一、赤道面上的压力

沿z轴方向的压力由两部分组成，一是引力强度引起的，二是自转引起的，前者的表达式为：

……（6）

当ω=0，同球面压力相等为式（6）。但当ω为一定值，r（r＜R）同球面上，压力将改变。这种改变是自转带来的，在赤道xz平面上内任一点上自转带来的力改变为：

……（7）

式（7）两边同除ds得：

……（8）

对式（8）做如下积分：

……（9）

（6）加（9）得：

……（10）

二、赤道面以外的压力

对于图1中O₂其压力，在均匀旋转之初，球没有变形成为椭球建立其新的平衡前，认为沿O₂O方向由球面到O₂压力仍有两部分组成，一部分为式（6），另一部分为：

……（11）

由（11）得：

……（12）

（6）加（12）得：

……（13）

式（13）当α为零，即为式（10）。当图1的球与地球一般大小，且r与R相差不大，为几十米到几百米。式（13）可做如下变化：

……（14）

式（14）中一部分做如下设定：

……（15）

对于式（15）右侧项中的左侧项是球表面和球内半径为r球面上的引力强度平均值，右侧项是球表面和球内半径为r球面上的离心力强度平均值，由此而知这就是均匀球的重力。

设R-r=h，于是可得：

……（16）

对于含球层的最外球层，根据上面的推求和以往只在引力强度下的球内压力计算，自转下最外内的压力可以推出以下通用表达式：

……（17）

式（17）大括号及重力用下式表达：

……（18）

式（18）中R_n与地球半径相等，r趋近于R_n，密度参数与球层参数与地球相同，式（18）就是在最外球层距离球面R_n-r=h处的重力，且约为定值g。而这一式在地球表面附近，由于离心力强度最大值约为0.033688m/s²，是引力强度约1/292，所以地球表面重力值基本就是引力强度值，且随α的增大不断变小，在两极仅存在引力强度。因此式（17）是流体静压力计算公式p=ρgh成立的理论基础。

说句题外话，如果依照过去处理浮力称为定律，根据中学和普通物理学到的流体静压力公式及后面的势能公式的过程，流体静压力表达式也应称为定律--压力定律，势能应称为定律--势能定律，不应厚此薄彼而双标，“玩笑了”。

2.2、力位与势能计算

图1均匀球内无旋转时任意一点引力位计算公式为：

……（19）

图1均匀球内一点自转离心力力位，在《地球物理学基础》第九页已给出为ω²(z²+x²)/2，该式写为球坐标则为：

……（20）

式（19）+（20）为均匀球内一点合力位为：

……（21）

含球层的球最外球层内引力位，之前已算出为：

……（22）

式中M_i为内球及球层质量，R_i为球层半径，ρ_i为球层密度，式（20）+（22）为在最外球层任一点力位：

……（23）

式（23）中当r=R_n时，球面力位为：

……（24）

式（23）、（24）力位差为：

……（25）

式（25）是最外球层内，球内一点h=R-r到球面的力位差，中括号设为：

……（26）

于是根据式（25）、（26）得：

……（27）

由式（27）得势能公式为：

……（28）

当式（26）各参数与地球相同，r趋近R时就是时称的重力常数g。式（28）就为时称的势能公式。

式（25）内球和球层密度相同，由式（25）可推出为：

……（29）

2.3、球内浮力计算

之前分析浮力的形成仅是讨论了引力场下的情态，没有涉及球的自转，得出引力场下得如下三定理表达式：

上升力定理：……（30）

下降力定理：……（31）

浮力定理：……（32）

一、赤道面上的浮力等的计算

图1(A)中为划定的旋转球台,质心在O₁、O₂点，距球心均为l大小如图示相同OO₂与OO₁夹角为α。图1（B）是为计算旋转球台在z轴方向受到的离心合力计算图。质点A受到的平行z轴的离心力与引力为：

……（33）

对式（33）求如下的积分，可得质心为O₁旋转球台对下部作用力：

……（34）

式（34）为以前提到的稳定平衡力，所以稳定平衡支持力如下：

……（35）

当上面的旋转球台的密度由ρ变为ρ₁，根据过去的仅存在引力场非稳定平衡力的计算以及上面的计算，均匀旋转下得旋转球台下的非稳定平衡力：

……（36）

式（35）和（36）相加得：

……（37）

式（37）后部括号内为现在人们口头天天念叨重力-g，根据（1）、（2）、（3）式（37）可写成：

……（38）

式（38）右侧括号设为：，于是式（38）可进一步写为：

……（39）

图1中的旋转球台换成小球，也可推出式（38）。式（38）中ρ₁小于ρ，就是无球层重力场中的上升力定理表达式；ρ₁大于ρ，就是无球层重力场中的下降力定理表达式；无球层重力场浮力定理（墨子定理）表达式。

对于含球层最外球层存在异密度小球，大球无旋转时之前上升力定理、下降力定理、浮力定理已推导出为：

……（40）

为说明式（39）具有普适性，下面推求无旋转时含球层，最外球层存在异密度旋转球台的上升力定理、下降力定理、浮力定理。

图1（A）中以Z轴为旋转轴的旋转球台，之前已推出稳定平衡支持力为：

……（41）

而对于含球层，位于最外球层的旋转球台的稳定平衡支持力推导如下：

当图1(A)内存在一个半径小于l为R₁的内球，密度为ρ₁，ρ₁大于外球层的密度ρ₂。此时假设内球的密度也为ρ₂，这时的稳定平衡支持力表达式为（41），却缺少质量4πR₁³(ρ₁-ρ₂)/3对旋转球台的作用力，也就是稳定平衡支持力缺少如下的一部分。这一部分根据万有引力公式，内球与旋转球台相互作用力的负值为：

……（42）

于是稳定平衡支持力为式（41）加（42）：

……（43）

根据上面的推算多球层最外球层如含有图1（A）划出的旋转球台，这时的旋转球台底部对其的球无自转时稳定平衡支持力[浮力定理（墨子定理）]具有以下的表达式：

……（44）

当旋转球台的密度异于所在最外球层的密度为ρ时，旋转球台对下部的非稳定平衡力为：

……（45）

式（44）、（45）两式相加就可得球无自转时的上升力定理、下降力定理的表达式：

……（46）

对于旋转球，根据式（33）到式（38）的推导，含多球层球自转球，最外球层含图1式的旋转球台，稳定平衡支持力[浮力定理（墨子定理）]：

……（47）

上升力定理、下降力定理的表达式：

……（48）

二、非赤道面上的浮力等的计算

图1(A)z轴上的旋转球台如图示的向左旋转α角，仍绕y轴旋转，此时旋转球台对底部的作用力，引力场下旋转球台对底部的作用力不变，自转引起的旋转球台对底部离心力如图1(B)计算如下。

图1（B）A、B、C、D旋转α角后，分别对应H、G、F、K，于是存在以下关系。，，于是：

……（49）

……（50）

由自转引起的对于垂直z轴力，根据上述运算可得：

……（51）

于是球自转时的稳定平衡力为：

……（52）

此时稳定平衡支持力[浮力定理（墨子定理）]为：

……（53）

此时非稳定平衡力为：

……（54）

式（52）、（53）两式相加就可得球无自转时的上升力定理、下降力定理的表达式：

……（55）

通过上面的讨论，可知重力表达式为：

……（56）

2.4、关于重力表达式的讨论

上面讨论了球内压力、力位及浮力计算，得出了压力计算下的重力表达式（18），力位计算下得重力表达式（26），浮力计算下得重力表达式（56）。但这三个表达式并不相同。但当这些公式的参数与含圈层地球参数相同，在地球的表面附近的任意点，重力值又应基本相同，相同的原因是引力值占了主导地位，地球的自转影响基本被忽略。而目前教材中应用的流体静压力、势能、浮力计算公式理论根据应分别是式（17）、（25）、（52）。

3、简论地球动力研究及结语

通过上面的讨论，我想通过科学网这个开放的平台，想向在地球动力学勤奋耕耘的老师阐述以下观点：以魏格纳离极力解释大陆漂移为肇始，地球动力学研究已经一百多年，而这一百多年来由于探求地球动力学的人以地学工作者为主力军，从上面以及之前的探讨看，我们的力学知识是碎片化的。一个满脑子物理基础碎片化的人，我以为搞地球地球动力这个问题，说句可能不合时宜的话，不搞偏是不可能的。所以，以碎片化的知识体量去探讨巨系统星球动力问题，无疑是盲人摸象。从而导致不断出现新的地球动力模型（含模拟），并使一部分学者焦虑认为还要积累资料，又有一部分在理不出头绪前，不断问自己、问他人什么是地球动力学。所以笔者在此想说：已在搞地球动力研究的学者和将开始对地球动力学发起冲锋的学者，在提出新的动力学模型（含模拟）和深化某一已存在的动力学理论前，请先停一停，请先思考地球这个巨系统是靠什么动力维持为球的，以及为什么存在球层，为什么出现海陆分野？是什么系统性力维持这个星球构造运转，等等问题。不也是一种地球动力的探讨吗？我之前和当下一切工作仅是抛砖引玉，希望有更多的学者探讨前面提到的地球这个巨系统维持的动力及动力性质，以破目前地球动力学研究龙多水不治之困局。

德拜球理论由中国学者池德龙提出，多次准确预言太阳黑子。这一理论与太空中物质的堆砌有关，本人也曾思索引入地球动力学的研究中，可惜不得法！

李相通、梁殊林、邵艳宁在上述问题中参与了计算和讨论。

支持单位：