状态确定与动态规划方法的学习-DIKWP奉献

段玉聪（Yucong Duan）

DIKWP-AC人工意识实验室

AGI-AIGC-GPT评测DIKWP（全球）实验室

世界人工意识大会（World Conference of Artificial Consciousness）共同发起人

DIKWP research group

1. 动态规划思想

动态规划是一种在数学、管理科学、计算机科学和经济学中使用的方法，它通过把原问题分解为相对简单的子问题的方式来求解复杂问题的方法。动态规划通常用于求解最优化问题。其核心思想是将大问题分解为小问题，通过解决小问题来逐步解决大问题。这种方法的关键是避免重复计算，通过存储已解决子问题的解来加快问题的求解速度。

动态规划的基本步骤通常包括以下四个部分：

划分子问题：将原问题划分为一系列子问题。这些子问题通常是重叠的，即不同的子问题可能包含相同的更小的子问题。

确定状态：每个子问题都由其“状态”唯一表示，并且每个状态对应一个或多个子问题的解。状态通常由问题的参数或变量的集合定义。

建立状态转移方程：对于每个状态，建立一个方程描述从一个状态到另一个状态的转移。这个方程称为状态转移方程，它基于做出的选择和这些选择如何改变状态。

确定边界条件：为动态规划定义明确的边界条件，即最简单的子问题的解。这些边界条件是解决整个问题所必需的基础。

动态规划的一个关键特征是它的记忆功能，通常通过一个表格实现，用于存储中间状态的结果。这样，在计算一个状态时，如果之前已经计算过，就可以直接从表格中查找结果，而不是重新计算，这种方法称为记忆化。

动态规划适用于具有重叠子问题和最优子结构特征的问题。最优子结构意味着问题的最优解包含其子问题的最优解。典型的例子包括斐波那契数列、背包问题、最长公共子序列、最短路径问题等。

值得注意的是，动态规划不总是最快的解决方法，它的效率高度依赖于问题的结构。在某些情况下，其他算法如贪心算法可能更适合。

2. 划分子问题

划分子问题是动态规划方法中的第一步，也是核心步骤之一。这一步的目的是将一个复杂的问题分解成多个小的、易于管理和解决的子问题。通过解决这些子问题，我们可以组合它们的解来解决原始的大问题。在动态规划中，这种划分特别强调子问题之间的重叠，意味着不同的子问题可能共享一些更小的子问题。这种重叠是动态规划方法有效性的关键，因为它允许我们通过解决每个子问题一次并缓存其结果（记忆化）来避免重复工作。

如何划分子问题

划分子问题通常涉及识别问题的决策点，每个决策点都会产生不同的子问题路径。在实践中，这意味着我们需要识别问题中变化的部分（即状态），并据此分解问题。

重叠子问题的例子

斐波那契数列：斐波那契数列的第n项可以由前两项相加得到，即F(n) = F(n-1) + F(n-2)。如果我们用递归直接解决，那么计算F(n)需要计算F(n-1)和F(n-2)，而计算F(n-1)又需要计算F(n-2)和F(n-3)，如此类推，F(n-2)被重复计算了多次。

背包问题：给定一组物品，每个物品都有自己的重量和价值，在限定的总重量内选取物品，使得选取的物品的总价值最大。我们可以将问题分解为更小的子问题：考虑前i个物品在限重为w的条件下的最大价值。这个子问题的解依赖于前i-1个物品在限重为w和w减去第i个物品重量的条件下的最大价值，这里存在重叠的子问题。

利用重叠子问题

动态规划通过构建一个解决方案的表格（通常是一个数组或者矩阵）来利用这种子问题的重叠性。在这个表格中，每个单元格代表一个子问题的解。一旦某个子问题被解决，它的结果就被存储在表格中。当这个子问题再次出现时，我们可以直接从表格中查找结果，而不是重新解决这个子问题。这种方法不仅避免了重复的工作，而且大大提高了算法的效率。

划分子问题是动态规划的基础，正确的划分可以使问题的求解变得清晰而高效。通过识别并利用问题中的重叠子问题，动态规划能够提供一种既直观又高效的解决方案。理解和应用这一步骤，是掌握动态规划方法的关键。

3. 确定状态

在动态规划中，确定状态是理解和构建动态规划解决方案的关键步骤之一。状态定义了一个子问题的唯一情况，是解决动态规划问题的基础。每个状态对应一个或多个子问题的解，通过状态，我们可以追踪问题解决过程中的每一个步骤。

状态的含义

在动态规划中，“状态”通常指的是达到当前步骤所需要的所有信息。状态是对问题当前情况的完整描述，它应该包含解决问题所需的所有必要信息，同时避免冗余。在不同的问题中，状态可以是非常简单的（例如，一个数值表示的位置），也可以是非常复杂的（例如，一个包含多个参数的元组）。

确定状态的步骤

识别状态变量：分析问题，确定哪些参数或变量可以唯一描述问题的每个阶段。这些变量的不同组合将形成不同的状态。

定义状态：一旦确定了状态变量，就需要定义状态。状态通常形式化为一个函数或数组，其参数就是上一步鉴定的状态变量。这个函数或数组的值表示在给定状态下问题的解。

考虑边界状态：确定状态的初始和最终形式，这些通常对应于问题的边界条件，是解决问题的出发点和终点。

例子

斐波那契数列：状态可以简单地定义为F(n)，表示计算第n个斐波那契数。在这里，状态变量就是n，它唯一地确定了子问题的解。

背包问题：对于一个给定的重量限制和一系列物品，状态可以定义为DP[i][w]，表示考虑前i个物品时，在不超过重量w的限制下，可以达到的最大价值。在这个例子中，状态由两个变量定义：i（考虑的物品数量）和w（当前的重量限制）。

状态的转移

定义状态之后，下一步是确定如何从一个状态转移到另一个状态，即状态转移方程。这个方程描述了问题解决过程中的动态性质，指出了如何从当前状态得到下一个状态。状态转移方程是根据问题的具体规则设计的，它利用了动态规划的“无后效性”特点，即未来的状态只依赖于当前的状态，而与如何达到当前状态的路径无关。

确定状态是动态规划中的核心步骤，它要求仔细分析问题，识别能够唯一表示每个子问题的参数或变量。通过精心设计状态，我们可以有效地将复杂问题分解为简单的子问题，并使用状态转移方程来找到从一个子问题到另一个子问题的路径。正确定义状态和状态转移方程是实现动态规划算法成功的关键。

4. 建立状态转移方程

建立状态转移方程是动态规划中实现问题解决策略的关键步骤。状态转移方程描述了如何从一个或多个当前状态得到下一个状态，是连接不同状态的桥梁。这个方程反映了问题的逻辑结构和决策过程，指导我们如何通过已解决的子问题找到最终问题的解。

状态转移方程的核心

状态转移方程基于做出的选择以及这些选择如何影响当前的状态。它通常表达为数学方程，形式上可以是递归的或迭代的。方程中包含的每个项都代表一个可能的选择或决策，这些选择将导致状态的变化。

如何建立状态转移方程

确定可能的决策：首先需要明确在每个状态可以做出的所有可能的决策或选择。这些决策应该覆盖所有能够从当前状态导向下一状态的可能路径。

分析状态的变化：对于每个可能的决策，分析它如何影响当前状态，即如何从当前状态转移到下一个状态。这通常涉及到状态变量的增加、减少或其他形式的变化。

定义递推关系：基于上述分析，定义一个递推关系（即状态转移方程），它表达了从当前状态到下一个状态的逻辑。这个递推关系应该能够根据当前状态和做出的决策来计算出下一个状态的值。

考虑所有可能的转移：确保状态转移方程考虑了从当前状态到下一状态的所有可能路径。这可能涉及到对多个不同的决策或子状态的求和或取最大/最小值。

示例

斐波那契数列：状态转移方程为F(n) = F(n-1) + F(n-2)。这里，当前状态是F(n)，它直接依赖于前两个状态F(n-1)和F(n-2)。决策是简单的递归步骤，将问题分解为更小的子问题。

背包问题：状态转移方程可能是DP[i][w] = max(DP[i-1][w], DP[i-1][w-wt[i]] + val[i])，其中DP[i][w]表示考虑前i个物品，在不超过重量w的限制下可以达到的最大价值。这个方程表示一个选择：不包含第i个物品的解（DP[i-1][w]），或者包含第i个物品的解（DP[i-1][w-wt[i]] + val[i]），取这两者之间的最大值。

状态转移方程的特性

无后效性：状态的转移只依赖于当前状态和做出的决策，与如何到达当前状态无关。

最优子结构：问题的最优解可以通过组合子问题的最优解来构建，这是动态规划可行性的关键假设。

建立状态转移方程是动态规划方法中构造解决方案的关键步骤，它需要细致地分析问题的结构，明确每个状态可以如何转移到下一个状态。通过精确地定义这些转移方程，我们能够将问题分解为更小的、可管理的子问题，并逐步构建出整个问题的解决方案。正确的状态转移方程能够确保动态规划算法的有效性和效率。

5. 确定状态的必要性

确定状态在动态规划中既是必要的也可能是挑战性的，其难度和必要性取决于问题的复杂性和问题求解者对动态规划方法的熟悉程度。

必要性

解决问题的基础：状态的定义是构建动态规划解决方案的基础。没有清晰定义的状态，就无法准确描述问题的各个阶段和这些阶段之间的转换关系，从而无法应用动态规划来求解。

保证效率：通过将问题分解为子问题并明确这些子问题的状态，动态规划可以有效避免重复计算相同子问题，从而提高算法的效率。

寻找最优解：对于最优化问题，确定状态是寻找最优解的必要步骤，因为它允许通过比较不同决策路径下的结果来选择最佳方案。

难度

分析问题结构：确定状态的难度在于需要深入分析问题的结构，识别能够唯一描述问题各阶段的参数或变量。这通常需要对问题有深刻理解和一定的抽象能力。

定义合适的状态：对于复杂问题，找到既能简洁表达问题又不失一般性的状态定义可能比较困难。过于简单的状态可能无法覆盖问题的所有方面，而过于复杂的状态又可能导致状态空间过大，增加计算复杂度。

经验和直觉：对于动态规划的初学者来说，确定状态可能尤为困难，因为它往往需要一定的经验和直觉。随着对动态规划方法和不同问题类型的理解加深，这一步骤会变得更加直观。

虽然确定状态可能是动态规划中较为挑战性的一步，但它对于成功应用动态规划方法来解决问题是绝对必要的。通过练习和研究不同的问题，可以逐渐提高确定状态的能力，使之成为解决问题的有力工具。对于复杂问题，初步的状态定义可能需要在解决过程中进行调整和优化，这是一个迭代和学习的过程。

6. 提高状态确定的途径

提高在动态规划中确定状态的能力主要通过实践、学习和理解不同问题的解决方案来实现。科研工作、学术论文、教材和在线资源中充满了丰富的案例和理论知识，可以帮助学生在这方面取得进步。下面列出了一些资源和方法，可以帮助学生提高确定状态的能力：

教材和参考书籍

《算法导论》（Introduction to Algorithms）：Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, Clifford Stein 著。这本书详细讲解了动态规划的基本概念、方法以及如何应用动态规划解决各种问题，包括状态的确定和状态转移方程的建立。

《动态规划：从新手到专家》（Dynamic Programming for Coding Interviews: A Bottom-Up approach to problem solving）：Meenakshi 和 Kamal Rawat 著。这本书专为编程面试准备，通过大量例题解释了动态规划的思想和应用，对于学习确定状态特别有帮助。

在线课程和视频

MIT OpenCourseWare：MIT 提供的免费开放课程中，有关算法设计与分析的课程经常包含动态规划的模块，通过讲解和案例研究，帮助学生理解动态规划的关键概念。

Coursera 和 edX：这两个在线学习平台提供了多门有关算法和动态规划的课程，由世界各地的大学教授讲授。这些课程通常结合了理论讲解和实践练习，有助于加深对状态确定方法的理解。

练习和在线竞赛平台

LeetCode：LeetCode 上有大量的编程题目，涵盖了包括动态规划在内的多种算法题。通过解决这些问题并学习其他人的解决方案，可以提高确定状态的能力。

Codeforces 和 TopCoder：参加这些在线编程竞赛不仅可以练习动态规划问题，还可以通过观察和学习顶级选手的解题策略来提高。

学术论文和研究

查找最新的学术论文和研究工作，特别是那些专注于算法设计和优化的论文，可以了解到动态规划在解决实际问题中的最新应用和理论进展。Google Scholar、IEEE Xplore 和 ACM Digital Library 是搜索这些资源的好地方。

小组学习和讨论

与同学或同行组成学习小组，定期讨论动态规划的问题和解决方案。通过集体智慧，可以从不同的角度理解问题，有助于深化对状态确定方法的理解。

通过上述资源和方法的学习和实践，学生可以逐步提高在动态规划中确定状态的能力。记住，理解和应用动态规划是一个渐进的过程，需要时间和耐心。