数学的核心之一：唯一性分解

许秋雨，2026.1.16

大家都熟知，每个正整数都可以唯一地分解成几个素数的乘积。这可能在数学里是最重要的结论之一，几乎在所有的数学领域里都起着关建的作用。在有了群环域的近代数学后，数学家们把这个结论做了很多推广，如在代数数论里的素理想分解定理，即一个数域的整数环里任何一个真理想都可以唯一分解成素理想的乘积。这是代数数论里的一个基本定理。

所谓分解就是，把元素 x分解成 x=x₁o x₂ o o o 这里 x_i 为某些更基本的元素。当分解公式里的运算号 o 为乘法时，它就是上面所说的因子分解，研究这样的分解是代数里最基本的任务。当分解公式里的运算号 o 为加法时，它就成了展开，如傅里叶级数展开，研究这样的展开是分析里最重要的任务。下面我们就加法分解多加探讨一下。如果只考虑固定有限个和的展开（或者叫表示），这等价于线性代数，否则就是泛函分析，即对无穷维空间的研究，如对函数空间的研究。

展开的维一性让数学家们有了线性独立性和正交性。那么人们为什么对展开的唯一性这么感兴趣呢？因为这与问题的解的唯一性有关，而求解永远是数学里最重要的工作。在很多应用或者求解的过程中，往往会求其展开后的元素，它们往往是问题的本质，也可认为是把问题先简化。如本来的元素x是对某个物体的观察值，任务是要从这观察值来决定该物体属什么类。如果用它的不唯一展开来求解的话，那么其解就不唯一，这时就很难确定物体的类别。所以展开的唯一性在信号处理里至关重要。

很多自然和机械产生的信号在较短的一段时间内都可以被平稳信号很好地逼近，这样的信号有，如，各种电磁波。这些信号大多是来自少许单频率信号源。数学家说了，任意有限时间段上的信号都有唯一的傅里叶级数展开，其唯一性来自其展开中的单频基元素的正交性。其实不光有展开的唯一性，它还有快速算法，所以傅里叶展开特别有用，在信号处理里起着最重要的作用，现在人们的每部手机里，每部手提电脑里，都有其处理芯片。

尽管自然界有很多信号是平稳信号，但也有很多信号不是平稳信号，比如信号的频率是时变的，最典型的例子就是鸟叫声，即Chirp信号。这时，尽管在有限时间区间内还有唯一的傅里叶级数展开，但展开后有非常多的单频元素，不会比时域里的信号简单多少。这时时频联合变换（也是展开）可能就是一个更好的选择。一个时频联合变换就是把一个一维的时域信号变换到一个时域和频域的两维联合域上的信号，其宗旨是在每个时间都可以看到信号不同的频率，叫瞬时频率。

这个想法和说法都非常好（与人工智能的说法类似地好），但是遗憾的是这仅仅只是一个说法，到现在还没有一个理想的时频变换。其实这并不奇怪，因为，首先频率就没有严格的数学定义，其次瞬时频率在数学上可以人为地定义（如信号相位的导数），但在物理上很难对上。从物理上讲，频率必须要有一段时间来定义，即一段时间内发生了几次（如转了几圈），是个整体概念，就像积分，而瞬时频率是指每个时刻的频率，是个局部慨念，如微分，所以这两者间有矛盾。

另外，现有的时频联合表示大都不是唯一的，即一个时域信号可以表示成多个时频联合信号。也就是说，时频联合基不是线性无关的，或者说有冗余。这就带来时频联合域处理上的困难，如在去噪上的应用，即滤波。尽管这样，时频联合分析在某些信号处理里（如检测/预警）也很有用，如一些信号不管在时域还是频域都没法看出特别之处，但在时频联合域上就可能有明显的峰值，一个这样的例子就是低信噪比下的chirp信号。

不管是乘法还是加法的分解唯一性，对小样本问题的求解唯一性有重要作用。而在大数据的今天，即使没有了唯一性，多来回迭代数次，解出个幻影也可以交差！