先从大的方面讲吧。确定性的世界是从牛顿物理再到爱恩斯坦物理，而且基本上被爱恩斯坦解决了。这个世界现到了随机的量子世界，从而出现了量子计算机，量子通信，量子雷达，量子针灸等等，各种新新理论会层出不穷。

因为我的专业是信号处理以及通信理论，我下面就讲讲与我有关的几个题目。

A） 香农信息论

首先看一下香农信息论。我个人觉得香农信息论就是为了数字通信的理论，它意在解决信号数字传输的两个重要问题，即信源与信道的问题。

关于信源，就是信源的压缩，因为实际的信号是有容余的，它在传输前是可以压缩的。香农理论给出了一个压缩后平均码长的下界。因为信源编码与信号本身有关，而当信号本身给定后，也是确定的，好的信源编码基本是确定性的，所以容易被人们攻克且定型。这也就是为啥，大家用到的信源压缩就是那几个早已定型的，如文献压缩zip，图像压缩JPEG或JPEG2000，视频压缩MPEG等等，其研究领域也早已成熟早已没很多人在做研究工作了。

另一个问题就是信道问题，给定一个信道，最大传输率是什么。香农理论给出了一个上界，即信道容量。因为信道噪声是随机的，香农理论说了，达到这个信道容量可以用随机编码。尽管过去数十年里出现了各种信道编码，数字通信里每次大的进展都与信道编码有关（当然应用有一定的迟后），如60年代的RS码，70和80年代的TCM，90和00年代的Turbo/LDPC码等，尽管过去多次有人号称其编码已经接近香农界了，大家在这个领域的研究从未停过。因为信道编码真对的是随机噪声，我相信，以后还会有新的流行码的出现，只要对象或方法是随机的就完不了。

B） 稀疏快速付里叶变换

六十年代的快速付里叶变换（FFT）的出现是数字信号处理真正的开始，当时的雷达SAR成像就是两维的FFT运算，当时FFT起了决定性作用。你也许会问，数字光图像处理是什么时候开始的，第一张数字光图像出现在1957年，第一张流行于图像处理界(特别是图像压缩界)的数字光图像出现在1973年的南加州大学EE系的图像所，它就是1972年11月份《花花公子》里Lenna的头像,叫Lena。

当然FFT出现后，有了多种改进，但是多多少少都差别不太大。直到没几年前，MIT有人提出稀疏FFT（SFFT），其算法有了本质的变化。条件是如果你感兴趣的频率个数只是信号长度的非常小的一分子。大家都知道，这个条件在实际应用中基本上是满足的。这时，SFFT说，如果用SFFT，有很大概率的可能性无需做原信号长度N的FFT，而只需很小长度（只与频率个数K有关）的FFT。

大家都知道，如果K个频率在N个频点中间隔都相同均分的话，原N点长的信号可以下采样N／K倍，只留K点信号即可，从而K个频率可以由下釆样后的K点FFT得到。问题是这K个频率不一定是同间隔均分在N点上，这时怎么办呢？思想来了，如果在频域里做一个随机置换，这K个频率就会在频域里均匀分布了，这时有很大的可能性，每两个频率间的距离可以到一定的程度，这时就又可以做下釆样了（尽管不一定能下采样N/K倍），从而又可以做下釆样后的FFT。下面就是，怎么做频域里的随机置换，其实，频域里的某些“随机”置换可以从时域里简单地得出，这正是SFFT里的一部分。这样，SFFT就可以以很大的可能性以原信号长度的一小小分数长度的FFT来得到感兴趣的稀疏频率。这样，从确定性的FFT就到了一个随机性的，“打赌式”的FFT了。

C） 压缩感知

由信号的部分信息恢复信号的问题自从有了信号处理后就有。这个问题非常广泛，但是在数字信号处理中典型的有，信号的内插，外推，由相位或幅度恢复信号等。其中最典型的就是内插，即釆样问题。如果想要无损恢复原信号，那釆样率就必须不小于Nyquist频率，即信号频带的两倍。如果信号频带非常大，采样频率也需非常大，釆样点也需要非常多，这时就有可能做不到或者浪费。2006年Donoho提出了压缩感知（CS），说了，如果信号的频率只有稀疏的几个，用不着这么多釆样点，如果这些样本点是某种随机投影（如随机釆样）得到的，只需要很少这样的样本点，有很大可能性得到要决定的稀疏频率。当然，尽管这时采样点数是可以大大地减少，但是其“釆样率”是否能低于Nyquist频率，还有待商榷［1］。其实上面讲的稀疏FFT跟CS的思想差不多。由部分信息决定信号的问题一般都是不定问题，所以，与其说不定还不如说有可能，不如打个赌，这样问题就到了随机的世界。

确定性的问题也许一下就被聪慧的人攻克了（即使不一定是很快，如费马大定理的证明），只有当问题随机化了，才可能有了人们不断地尝试不断地有希望。

［1］“全世界都在炒概念”， 科学网博文，2018年8月24日。