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已知：‘超球面模型’定义了多元向量的乘法：‘分量的积做积的分量’（白，1995）。

求证：“超球面模型”是乘法群，交换群

证明:
我们用一个特例：四维空间的4元向量来证明四维超球面模型是乘法群。博友可以把4换成其它自然数，以至M，证明一般的超球面模型是乘法群。

据‘分量的积做积的分量’的乘法定义，四维空间的两个4元向量A和B的乘积是C：

A(i)*B(i)=C(i)，                       i=1, 2, …,4                                  [公式2-4]

多元向量的积C(i)，            i=1, 2, …,4

也是四维空间的4-向量。也就是说，超球面模型定义的乘法在这里的四维空间“封闭”。

4-向量乘法的定义满足结合律（用中括号表示结合）
[A(i)*B(i)]*C(i)

=([A(1)*B(1)]*C(1), [A(2)*B(2)]*C(2), …, [A(4)*B(4)]*C(4))
= (A(1)*[B(1)*C(1)], A(2)*[B(2)*C(2)], …, A(4)*[B(4)*C(4)])  
=A(i)*[B(i)*C(i)]，                     i=1, 2, …,4

四维空间有一‘恒等元向量’：每个分量等于1的4元向量，被特称为OM 向量，OM=（1,1,1,1）。OM向量是四维空间的中天向量（Identity, I 向量）。任一四元向量与OM向量（恒等元向量）的积仍是该四元向量自身：

A(i)*OM(i)=A(i)*OM(i)=A(i)，                                                 i=1, 2, …,4

‘满元向量’。所有的分量都不等于零的4元向量是满元向量。

有分量等于零的4元向量是‘不满元向量’。不满元向量不是四维空间的向量。比如，有一个分量是零的四元向量，实际上是三维空间的点，是3元向量。...以此类推。

‘满元向量’恒有逆向量。

分量的逆（倒数）是逆向量的分量。

A(i)^（-1）=1/A(i),                     i=1, 2, …,4

两支互逆的4元向量的积是OM向量：

A(i)*（1/A(i)）=（1,1,1,1）=OM，                 i=1, 2, …,4。

满元向量也称无零向量。

‘满元向量’恒有逆向量，所以可做分母，做除法。

四元向量的乘法满足交换律：

A(i)*B(i)

=(A(1)*B(1), A(2)*B(2), …, A(4)*B(4)）
= (B(1)*A(1), B(2)*A(2), …, B(4)*A(4))  
= B(i)*A(i)，                                                        i=1, 2, …,4

在四维空间，满元的4-向量对‘分量的积做积的分量’的乘法是封闭的，可结合的，有恒等元，有逆元，所以是乘法群。而这个乘法群是可交换的，所以‘超球面模型’是乘法群、交换群、多元阿贝尔群。

照搬自《数学手册》，高等教育出版社，1979，北京，465，466页。

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相关阅读：多元向量基本运算。白图格吉扎布：趋势分析及其在生态股市中的应用，民族出版社，北京，2006，171-185页。

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