引用本文

林文瑞, 丛爽. 基于深度学习LDAMP网络的量子状态估计. 自动化学报, 2023, 49(1): 79−90 doi: 10.16383/j.aas.c210156

Lin Wen-Rui, Cong Shuang. Quantum state estimation based on deep learning LDAMP networks. Acta Automatica Sinica, 2023, 49(1): 79−90 doi: 10.16383/j.aas.c210156

http://www.aas.net.cn/cn/article/doi/10.16383/j.aas.c210156

关键词

量子状态估计，近似消息传递法，压缩感知，密度矩阵，深度学习 

摘要

设计出一种基于学习去噪的近似消息传递(Learned denoising-based approximate message passing, LDAMP)的深度学习网络, 将其应用于量子状态的估计. 该网络将去噪卷积神经网络与基于去噪的近似消息传递算法相结合, 利用量子系统输出的测量值作为网络输入, 通过设计出的带有去噪卷积神经网络的LDAMP网络重构出原始密度矩阵, 从大量的训练样本中提取各种不同类型密度矩阵的结构特征, 来实现对量子本征态、叠加态以及混合态的估计. 在对4个量子位的量子态估计的具体实例中, 分别在无和有测量噪声干扰情况下, 对基于LDAMP网络的量子态估计进行了仿真实验性能研究, 并与基于压缩感知的交替方向乘子法和三维块匹配近似消息传递等算法进行估计性能对比研究. 数值仿真实验结果表明, 所设计的LDAMP网络可以在较少的测量的采样率下, 同时完成对4种量子态的更高精度估计.

文章导读

在量子力学中, 量子状态密度矩阵包含了量子系统的全部信息, 是量子信息处理和量子控制研究的基础. 根据海森堡不确定性原理[1], 对量子系统的每一次测量都会破坏其原有的状态, 这使得人们无法通过直接对一个量子系统进行测量来获得量子系统的状态, 只能测量到量子系统的状态在某个投影方向上的投影(坍缩)结果, 再通过多次测量的统计结果, 计算出各投影分量的概率对真实量子状态进行估计[2]. 为了解决量子态的估计问题, 1957年Fano[3]提出了量子层析的方法, 它是通过对一个量子状态进行多次投影测量, 根据测量值与量子态直接的关系式, 联立方程求解出量子状态. 该方法需要制备量子状态的大量全同副本, 并进行重复地测量来进行量子态估计. 随着量子理论的逐步完善, 1969年Cahill和Glauber[2]提出利用重复测量获取的量子概率统计数据重构出量子态的密度矩阵来恢复量子状态信息, 奠定了量子态层析的基础. 一个$n$比特量子系统状态的密度矩阵${\boldsymbol{\rho}} \in {{\bf{C}}^{d \times d}}$的维数为$d \times d$, 并同时具有半正定, 单位迹和共轭对称的性质, 其中$d = {2^n}$. 由于待估计的${\boldsymbol{\rho}} $的未知元素数目为$d \times d = {4^n}$个, 所以该系统的完备测量次数为${4^n}$, 是随着量子维数呈指数增加[4]. 为了解决测量次数随量子位指数增长的问题, 人们根据压缩感知(Compressive sensing, CS)理论[5]将量子态密度矩阵通过高维测量矩阵投影到维数很低的压缩矩阵上, 只要测量矩阵满足限制等距特性(Restricted isometry property, RIP)[6], 就可以利用压缩后的低维压缩矩阵通过求解一个优化问题精确重构出待估计的密度矩阵[7-9].

在实际量子测量过程中, 测量噪声的存在是不可避免的, 并且可以被假定为高斯噪声. 在量子状态估计算法研究中, Smith等[10]基于最小二乘法从含有噪声的数据中实现了4比特量子状态估计. Li等[11]基于压缩感知将交替方向乘子法(Alternating direction multiplier method, ADMM)运用到量子态估计中[12], 给出了算法迭代优化形式, 并在5比特的量子状态密度矩阵估计中获得了较高的估计精度. ADMM算法是一种求解分布式凸优化问题的计算框架, 在图像处理及恢复、统计学习和量子态估计等领域有着广泛应用. Smolin等[13]提出了一种从加性高斯噪声测量中计算最大似然量子态的有效方法, 其最坏时间复杂度为$O({d^4})$. 但是这些优化算法在量子态重建过程中都会需要较多的计算内存和计算时间. 对于高维量子系统, 重建过程中需要测量和处理的数据会很多, 这样会导致所需的计算资源和计算时间增长很快. Metzler等[14]提出DA-MP算法, 它是一种基于压缩感知的迭代稀疏信号恢复算法, 通过在算法中添加Onsager校正项[14-15], 修正每次迭代时有效噪声的偏差, 改进了基于去噪的迭代阈值(Denoising-based iterative threshold, DIT)算法收敛速度慢的问题. Liu等[16]采用卷积神经网络的降噪自动编码器, 从带有噪声的密度矩阵中重建出高精度的密度矩阵.

本文基于压缩感知理论, 结合深度学习网络, 提出一种采用深度学习网络来估计量子状态密度矩阵的方法. 将密度矩阵视为二维自然图像信号, 采用基于学习降噪的近似消息传递(Learned denoising-based approximate message passing, LDA-MP)神经网络[17], 将去噪卷积神经网络(Denoising convolutional neural network, DnCNN)的图像降噪器[18]融合到基于去噪的近似消息传递(Denoising-based approximate message passing, DAMP)算法[19]中. 此外, 还提供一个关于LDAMP在量子状态估计中的渐近收敛性能的分析框架—状态演化(State evolution, SE)方程[17]来预测LDAMP网络每一层的均方误差(Mean square error, MSE)性能[20]. 在数值仿真实验中, 在固定DnCNN神经网络和LD-AMP网络的层数, 选择高斯测量矩阵, 在无和有外部测量噪声两种情况下, 分别对4个量子位的量子本征态、叠加态、对角混合态和一般混合态的密度矩阵参数估计进行结果和性能分析, 并与其他典型的重建算法对密度矩阵参数估计的性能进行了对比研究.

本文结构安排如下: 第1节概述了基于压缩感知的量子状态估计作为一个信号恢复问题, 第2节介绍了应用于量子状态估计的DAMP信号恢复算法, 第3节具体描述了LDAMP网络的实现和DnCNN神经网络的结构及其训练过程, 第4节给出了对DnCNN训练后模型的测试结果和量子态估计数值模拟实验结果及分析, 第5节是结论.

图 1  LDAMP中第 l 级网络结构图

图 2  DnCNN降噪器的网络结构图

图 3  DnCNN降噪器输入变量的尺寸变换过程

本文训练出一个具有20层的降噪卷积神经网络(DnCNN), 与基于去噪的近似消息传递(DA-MP)算法相结合, 设计出一个10层的基于学习去噪的近似消息传递(LDAMP)网络, 并将其应用于量子状态估计中. 本文提出的LDAMP网络在量子态估计中的性能, 优于基于压缩感知理论最先进的三维块匹配近似消息传递BM3D-AMP信号恢复算法和ADMM算法, 为采用深度学习网络进行量子态估计开辟了一条新的路径. 更加深入的研究是带有虚部的深度学习网络的量子态估计, 以及实现在线量子态估计[40]的深度学习网络的实现.

作者简介

林文瑞

中国科学技术大学自动化系硕士研究生. 2019年获中国科学技术大学学士学位. 主要研究方向为基于深度学习网络的量子状态估计. E-mail: lwryjj@mail.ustc.edu.cn

丛爽

中国科学技术大学自动化系教授. 1995年获意大利罗马大学系统工程博士学位. 主要研究方向为运动控制中的先进控制策略, 模糊逻辑控制, 神经网络设计与应用, 机器人协调控制, 量子系统控制. 本文通信作者. E-mail: scong@ustc.edu.cn