区间二型模糊集能同时建模个体内不确定 性和个体间不确定性, 因而在很多应用中显示了比一型模糊系统更好的性能, 是近年来的研究热点.

从仿真结果来看，本文方法在对复杂场景多曝光图像序列融合HDR图像时，能较好地去除伪影，且能保留绝大部分真实场景中的细节信息。客观指标如表1所示。

经典逻辑 (也称二值逻辑或布尔逻辑) 认为所有事物或陈述都可以用二元项 (比如 0 或 1, 是或否, 黑或白) 来表示. 给定一个集合 X, 其论域内的每个元素要么完全属于该集合 X, 要么完全不属于 X, 不存在部分属于 X 的情况.

但是, 人们日常交流中使用的语义概念往往具有不确定性, 而且元素是否属于某个语义 概念经常是个渐变而非突变的过程, 不能简单用非黑即白来描述. 比如劳动保护办法为了消 除歧义, 可能规定 35 度以上为 ‘高温’, 这样 ‘高温’ 就是一个二值逻辑, 35.0 度为 ‘高温’, 34.9 度不是 ‘高温’. 其集合表示如图1(a)所示. 但是在人们的理解和体感中, 35.0 度和 34.9 度并没 有本质的区别. 语义概念中的 ‘高温’ 是渐变而非突变的: 35.0 度以上属于 ‘高温’, 但是 34.9 度也不是完全不属于 ‘高温’, 只是它属于 ‘高温’ 这个概念的隶属度比 35.0 度稍微低一点点. 同理, 34.5 度也应该算作 ‘高温’, 只是它的隶属度比 34.9 度再稍低一些.

(a)

(b)

(c)

图1  高温'的不同集合表示

为了更好地建模语义概念, 加州大学伯克利分校 Zadeh 教授于 1965 年首次提出了模糊 集 (fuzzy set) 的思想. 为了与以后进一步扩展的其它模糊集思想区分, 本文中把 Zadeh 1965 年提出的模糊集称为一型模糊集 (type-1 fuzzy set). 图 1(b)是对应于 ‘高温’ 这个语义概 念的一个一型模糊集. 30 至 35 度之间的温度也都属于 ‘高温’, 只是有不同的隶属度. 相对于 经典逻辑, 一型模糊集可以更好地建模单个用户对于语义概念理解的不确定性, 即个体内不 确定性 (intra-personal uncertainty).

然而, 对于同一个语义概念, 不同用户可能也有不同的理解, 即个体间不确定性 (inter- personal uncertainty). 比如, 对于 ‘高温’这个概念, 北方人和南方人的理解就不完全一致. 一型模糊集不能建模个体间不确定性, 因为每个元素的隶属度是个确定的值: 为什么 34.5 度属于 ‘高温’ 的隶属度必须是 0.9 而不是 0.85 呢? 不同用户可能有不同的看法. 为了更好地建 模个体间不确定性, Zadeh 于 1975 年又提出了二型模糊集 (type-2 fuzzy set, T2 FS). 因其 表示和理解较为复杂, 目前应用较多的是二型模糊集的一个特例, 区间二型模糊集(interval type-2 fuzzy set, IT2 FS), 如图 1(c)所示. 在区间二型模糊集中, 论域中每个元素的隶属度 变成一个区间, 而非一个确定的值. 比如, 35 度属于 ‘高温’ 的隶属度区间可能是 [0.8, 1]. 当 然, 如果不同用户对于某个元素的隶属度的看法完全一致, 那么该隶属度区间也可以退化为 一个确定的值, 比如图 1(c)中温度高于 37 度的部分, 其隶属度区间为 [1, 1], 或直接记为 1.

基于一型模糊集构造的模糊系统被称为一型模糊系统 (type-1 fuzzy system). 1973 年 Zadeh 提出一型模糊系统可以用于控制领域. 1974 年 Mamdani 首次成功地将一型模糊 系统应用于锅炉和蒸汽机的控制. 1976 年丹麦 Blue Circle Cement and SIRA 公司开发了一个水泥窖模糊控制系统, 成为第一个工业模糊控制系统. 1987 年日本仙台地铁成为第一个成功应用模糊控制的大型工程. 此后模糊控制成为了一型模糊系统最成功和最广泛的应用领域.

虽然理论上区间二型模糊集能够同时建模个体内和个体间不确定性, 因而比一型模糊 集更强大, 但是因为其相对于一型模糊集更复杂的概念和运算, 在很长时间内并没有受到研 究者的重视, 如图2所示. 一直到 2000 年左右, 在美国南加州大学 Mendel 教授及其学生的大力推动下, 才逐渐成为模糊系统领域的研究热点, 并在决策、控制、机器学习等领域得到 了广泛应用.

图2  谷歌学术中包含“type-2 fuzzy”的论文数量

然而, 除了潘永平等在 2011 年做过一个关于二型模糊控制的综述, 目前中文文献中并没有对区间二型模糊集和模糊系统的最新的综述. 本文对区间二型模糊集和模糊系统的基本概念、理论和应用进行了系统性的综述, 并指出了未来的几个研究方向, 为下一步深入研究确立了良好的基础.

本文首先介绍了区间二型模糊集的重要概念和理论研究进展, 总结了其在决策和机器学习中的成功应用, 然后介绍了区间二型模糊系统的基本操作和理论研究进展, 并回顾了其在控制和机器学习中的典型应用. 最后, 对区间二型模糊集和模糊系统未来的研究方向进行了展望.

区间二型模糊集是经典的一型模糊集的推广, 能同时建模语义概念的个体内不确定性 和个体间不确定性, 因而在决策和机器学习中得到了大量应用. 区间二型模糊系统是至少含有一个区间二型模糊集的系统, 在控制和机器学习中得到了成功应用.

尽管跟 20 年前相比, 区间二型模糊集和模糊系统的研究呈现出指数增长的趋势, 但是跟计算智能领域的其它方向, 特别是深度学习比较, 还有很大的发展空间. 以下是对未来研究方向的一些展望:

1. 区间二型模糊集的重要应用是决策和机器学习. 在机器学习问题中, 模型在训练数据上优化, 其好坏可以很容易地用验证数据或测试数据来评价. 但是决策问题往往没有 训练数据和验证数据, 很难比较不同决策方法的优劣. 目前常见的一个观点是, 区间二 型模糊集比一型模糊集能更好地建模语义不确定性, 所以直观上讲其决策效果可能会 更好. 但是这个观点说服力不够. 如果能够更客观地评价区间二型模糊集在决策问题 中的性能和优势,  那么必然会促进其理论和应用的进一步发展.

   
   

2. 区间二型模糊集和模糊系统的数学表达和理解比神经网络复杂很多, 不容易入门. 简化这些概念和表达能够 吸引更多的研究者.

   
   

3.  区间二型模糊系统的性能相比传统的一型模糊系统有提高, 但是相比神经网络, 特别 是深度神经网络, 不一定有优势, 而且又不如神经网络那么容易处理大样本、高维度 的数据. 受模糊系统和经典机器学习模型 (如径向基函数神经网络、混合专家模型等) 函数等价性的启发, Wu 等把深度学习中的小批量梯度下降、DropOut、 批规范化等操作引入到一型模糊系统训练中, 加快了训练速度, 提高了泛化能力, 并能 有效处理大数据.  对应的工作应该也可以被推广到区间二型模糊系统.

   
   

4. 深度学习的强大能力来源于其逐层堆叠的结构、层间特征的非线性变换和更高的模型复杂度. 虽然区间二型模糊系统是万能逼近器, 即在规则足够多的 时候具有很高的模型复杂度, 但是相对于深度神经网络, 区间二型模糊系统的结构非 常浅, 内部也没有特征的非线性变换 (模糊系统的输入一般都是原始特征). 有效构建 深层区间二型模糊系统 (比如层次区间二型模糊系统), 或者区间二型模糊系 统与深度神经网络的结合, 可能是进一步提高其性能的可行方向. 

   
   

5. 相对于其它黑箱机器学习模型, 区间二型模糊系统的优点是可解释性. 这在完全依据专家经验进行建模的时候是尤其有用的. 但是现在随着数据驱动建模方法的流行, 模 糊系统的规则也越来越多, 越来越复杂, 可解释性也大大降低了. 如何平衡区间二型模 糊系统的性能与可解释性, 是一个值得研究的问题.

   
   

6. 理论上讲, 一般二型模糊集和模糊系统比区间二型模糊集和模糊系统的建模能力更强. 然而，其理解更困难, 计算代价更高. 把区间二型模糊集和模糊系统的成果有 效地推广到一般二型模糊集和模糊系统, 也是个有意义的研究方向.