【摘要】在1976年Donald·Knuth和2011年崔雷提出Knuth’s Up-arrow Notation和类似的广义幂指函数以来，这种从加法、乘法、幂运算继续推广的运算取得了一些进展。本文通过针对分数阶幂指函数的分析、代数基本定理无纯代数证明以及超复合函数的分析，给出了一些分支解释。本文另就寻找π的广义幂指表示给出了搜索法。本文通过这四方面的介绍，给出了这3个细节的2024年进展。

1 广义幂指函数进展

历史上，在1976年Donald·Knuth提出Knuth’s Up-arrow Notation和2011年笔者独立提出广义幂指函数，其他有学者独立提出类似思想，为了便于阅读，先引出广义幂指函数、复立体和超复合函数的定义：

从以下规律：

a+a=a*2 ， a+a+a=a*3 ;（2和3分别是加法中a的个数）；

a*a=a^2 , a*a*a=a^3 ; （2和3分别是乘法中a的个数）；

a^a=a^^2 ， a^(a^a)=a^^3 ；（2和3分别是幂指a的个数，此时称 a^^2为广义幂指函数的二阶2次，其中二阶指的是有2个“^”，3次指的是有3个“a”。二阶幂指广义幂指函数又称为迭代幂次）。

继续类似的，a^^a=a^^^2 ， a^^(a^^a)=a^^^3 ；（类似的，a^^^2指的是广义幂指函数的三阶2次）。

这是可以一直继续推广的。

那给出一个不太严格的广义幂指函数计算：

　(1) KCF(bx，ex，cx=1，py)=bx^ex；

　　(2) KCF(bx，ex，cx，py2)=KCF(bx，CuiMaP(bx，ex-1，cx，py1)，cx，py2);

　　(3) KCF(bx，2，cx，py)=KCF(bx，bx，cx-1，py)。

这里面的bx是底数，就是前面举例的“a”；ex是指数，就是前面举例的2、3；cx为阶数，就是“^”的个数；px是前面的运算结果，n为顺序符。n顺序符指的是从原点向右的个数，这个对于多个值的表示是有用的。这里面的计算原则是：按照定义展开KCF函数，然后按照最里层先降次、降至2次后再降阶、然后依次向外展开，最终展开至幂指函数。

前缀KCF是广义幂指函数标记，后面跟的P指的是求解幂。实际上对于bx、ex、cx、px有一个朴素的想法：就是任意给出其中3个可以得到另一个（不一定是整数值）。因此还可以有KCFBP之类的函数，其中指的是Bx是自变量、Py是因变量。

实际上，对于a^^0.5在目前的体系是没有定义的（注意它和a^0.5完全不一样）。那么可以补充定义，就是重新定义1 、 “/” 、 2这类符号，比如令：

a^^2=b，那么 b^^(1/2)=a 。

这种补充定义，至少有一个启发，就是分数次的广义幂指函数是可以有多种解释的，进一步的，分数阶的广义幂指函数也是可能的，同时bx、ex均不一定为自然数。

另外，百度百科2024年的广义幂指函数词条是并入迭代幂次词条的。实际上，就超-4函数而言，它只是广义幂指函数的一个分支（二阶、幂指类），其实广义幂指函数还可以是多阶、幂对类（即KCFBP类）等多种。KCF是一函数体系，里面可以包括KCFBP、KCFBC等多种可能。

根据a^a在a是有理数，或者更进一步各种广义幂指函数，比如a^^3当a是有理数，其幂值可以为超越数。实际上带来三个启示：

一是根据格尔丰德-施耐德定理（Gelfond–Schneider theorem），如果α和β是代数数，其中α≠0且α≠1，且β不是有理数，那么任何α^β的值一定是超越数。对于KCF函数体系，其生成的超越数概率远远大于代数数，这也是一个形象的说明。

二是这就带来了例如π、e之类超越数可以用某个广义幂指函数表示的可能（可以二分法计算）。

三是按照猜想的定义，KCF的1/2次类似于朗伯W函数（Lambert's W Function）。

2   复立体进展

复立体的核心，是指出负数-1未必只有2个虚数根。其起源是i^i计算后得到的一个数族，因此寻找更多的i，或者把复平面从平面推广到立体，甚至更高维度，也是可行的。一般的，建立一个存在原点的实数轴，然后以原点建立1个垂直实数轴的基准面，然后基准面上任一个中心在原点的垂直2条线，和实数轴组成各种复平面。这个体系就是复立体。复立体是兼容复平面理论的：

图1 复立体示意图

 代数基本定理没有纯代数证明，如果把复平面拓展到复立体，更或者定义更高阶的广义幂指函数运算，会得到更多的结果。

实际上未必只能是复立体，仿照线性代数里面“基”的概念，也可以形式上建立多维复立体。

3  超复合函数进展

对于复合函数f(f(x))=g(x)可以进一步形式化定义：

CMaF(f(x),cx,g(x))，cx是复合的次数，CMaF是超复合函数名。

这种形式化定义有个用处，就是cx可以形式上定义为分数或者其他数。如果像广义幂指函数那样，重新定义 1 、“/” 、2之类的，就可以得到一个解释分支：

CMaF(f(x),2,g(x))则 CMaF(g(x),1/2,f(x))。

那么还可以把cx=1/2称为半迭代、把cx=1/3称为1/3迭代。

这种形式化推广，甚至有cx为负数或者复数等各种解释分支的可能，存在一定意义。

对于CMaF(f(x),2,e^x)，有数学家给出了解析解。但一般的，CMaF(f(x),2,g(x))当g(x)=e^x+1或者g(x)=x^2+1之类的，求解析解较为困难。

4  结语

笔者介绍了广义幂指函数进展主要为指数为分数是解释分支之一，是重新定义了“除法”；复立体的进展主要是参照线性代数“基”的思想，可以建立复多维体；超复合函数的进展是分数阶的解释分支之一，是重新定义了“除法”。

广义幂指函数的进展和复立体进展有一定关系，从ax为复数、ex为复数可以进一步考量。下一步可以考虑复多维体、高阶不定次的广义幂指函数之间的联系问题；还可以考虑代数基本定理在高阶广义幂指函数下推广的问题。

笔者同时指出，迭代幂次是广义幂指函数下面的一个子函数族，其主要是二阶的幂函数。

本文对广义幂指函数、复立体、超复合函数的2024年进展进行报告，希望通过抛砖引玉给读者参考。

参考文献

[1] Knuth D. Coping with Finiteness[J]. Science, 1976,194(4271):1235-1242.

[2] 崔雷. 综述广义幂指函数和复立体[J]. 科协论坛(下半月), 2011(10):89-90.

[3] 崔雷. 浅谈幂指函数和复平面以及复合函数的推广[J]. 教育现代化, 2019,6(89):167-168.

[4] 崔雷. pi的二阶广义幂指函数表示搜索法[J]. 哈尔滨师范大学自然科学学报, 2015,31(05):46-47.

[5] 崔雷. 浅谈二阶广义幂指函数[J]. 哈尔滨师范大学自然科学学报, 2011,27(04):37-39.