本文2024年2月5日首发于中国科学院国家天文台微信公众号，是连载三篇中的第一篇。

牛顿-莱布尼兹的微积分发明优先权之争 （1/3）

陈学雷（中国科学院国家天文台）

人是复杂的，但是人们对人的印象却往往是过于简单化的。曾几何时，牛顿在人们心目中的形象是一个专心致志、废寝忘食地钻研学问的伟大科学家，是孩子们的楷模。但是，近年来取代这一形象的却是一个争名夺利、玩弄权谋的牛顿，说他是在网上被黑得最狠的科学家大概也不为过。几年前，我写了一篇关于牛顿万有引力和苹果故事的文章（《牛顿的苹果—真的、假的》，以下简称《苹果》），指出牛顿受苹果下落启发而发现万有引力的故事并非虚假，而是来自牛顿本人的回忆；我也介绍了牛顿与胡克争端的始末，牛顿的名言“我之所以看得更远，是因为站在巨人的肩膀上”并非如某些流行的说法中那样是对胡克个子矮的讽刺。一位前辈对我说，他之前受霍金《时间简史》中对牛顿负面描述的影响，对牛顿为人的印象极差，读了我的文章后有所改善。确实，在霍金这本影响巨大的科普名著中，虽然也描述了牛顿的重大科学贡献，但可能是受某些牛顿传记的影响（那些传记打破了之前传记中过于呆板的类型化叙述，但又不免矫枉过正），对牛顿个人品德的描述却极为负面。里面着重提到牛顿与莱布尼兹就谁先发明了微积分而进行争论，牛顿利用皇家学会主席的权力，成立委员会调查此事，并撰写了对自己有利的调查报告，这给读者留下的印象是，牛顿是个喜欢玩弄权术手腕的学阀。

但是，这种印象恐怕并不完全准确，是在缺失了相关历史背景和不了解前因后果情况下让人们自行脑补当时场景而产生的。牛顿固然并非淡泊名利的圣人，也确实有点专横，但他远不是那种阴险狡诈、纵横捭阖的权术玩弄者。在本文中，我将介绍微积分发明优先权争端的来龙去脉，希望读者能获得一个更接近真实的牛顿形象。

一、微积分的发明

自古以来，人们就遇到了许多其中的变量正在发生连续变化的数学问题，比如几何学中的各种曲线，如何求曲线的切线？如何求曲线围成的面积？又比如对于运动的物体，已知其不同时刻到达的位置，如何求其瞬间的速度方向和大小？或者反之，如果知道每一时刻的速度，如何求其抵达的位置，等等。解决这类问题的数学方法就是微积分(calculus, 本意是“运算”)，它在现代科技中有广泛的应用。那么，微积分方法是谁发现或发明的呢？（数学究竟算是发现还是发明有很多讨论，为行文方便起见，本文以下姑且采用“发明微积分方法”的说法，但应该说数学方法的发明本质上是一种发现。）针对一些特殊的问题，古代数学家已找出了特殊解法，例如古希腊的阿基米德、中国的祖冲之等都曾计算出圆周率的近似数值，其方法可能就有微积分的萌芽。17世纪，人们遇到了越来越多的这类问题，德国的开普勒，法国的笛卡尔、费马，英国的巴罗、瓦利斯等，在解答某些特殊问题时运用了微积分的思想。但直到牛顿和莱布尼兹，才给出了普遍解法。

图1. 微分和积分

不过，就微积分的发明历史牛顿和莱布尼兹曾爆发过一场激烈的争论。简单地说，牛顿更早做出这项发明，但他的结果在长达二十多年里都没有公开发表，只有极少数人知道；莱布尼兹发明微积分的时间约晚十年，但最终是他首先公开发表了微积分方法，他引入的术语和符号也被当时和后世的人广泛使用。不过引起争议的是，莱布尼兹在公开发表微积分之前，也是少数读到过牛顿早期工作成果的人之一，因此晚年的牛顿及其追随者们怀疑他是否剽窃了牛顿的成果，而莱布尼兹和他的一些朋友如约翰·伯努利等人则又反过来质疑牛顿是否真的发明了微积分。由于牛顿和莱布尼兹的大量手稿留存下来，后世的人们根据对这些手稿的研究一般认为，牛顿和莱布尼兹其实是各自独立地发明了微积分，他们本可以分享这一荣誉，却不幸卷入了相互猜疑和指责。我们这里介绍一下这一历史。

1.     牛顿的微积分发明

牛顿是两人中首先做出这一发明的，其取得突破的时间大约在1665-1666年之间，也就是所谓牛顿的“奇迹年”。1661年，牛顿进入剑桥大学三一学院学习。当时剑桥大学的课程内容仍是经院哲学，并没有多少数学和科学，不过牛顿很快就形成了自己的学习兴趣，大量阅读新出的各种自然科学著作。他给自己列了一个包括许多问题的提纲，列出了他想要理解的问题，其中大多是关于物质、运动、流体、光、颜色等后世归于物理学方面的问题。1664年，剑桥大学设立了卢卡斯数学讲座教授席位，巴罗(Issac Barrow)成为第一任卢卡斯讲座教授，开始讲授数学，这可能也激发了牛顿对数学的兴趣。

1665年，英国爆发了疫病，剑桥大学停课，牛顿回到自己的家乡，专心钻研，在一年多的时间里在微积分和光学方面取得了巨大突破，并开始思考万有引力问题。1667年疫情结束后，牛顿回到剑桥大学，将自己取得的一些成果告诉了巴罗教授，使后者深为钦佩，遂于1669年主动让贤，将卢卡斯教授席位让给了牛顿。当然，巴罗让出这一职位也是因为他可以获得更高的职位（三一学院院长），但无疑他是深为青年牛顿的学识所折服。

1669年经过巴罗介绍，身在剑桥的牛顿开始与伦敦的皇家学会会员柯林斯(John Collins)通信。柯林斯当过海员、数学教师和会记，是一位数学爱好者，也是皇家学会的兼职图书馆员。当时学术期刊才刚刚开始出现，还缺少成熟的学术交流渠道。柯林斯本人虽然学术水平不高，但他一心想要促进学术交流，因此热情地联络英国各地的数学家，了解他们的最新研究进展并广为传播。他给巴罗送去了一位名叫墨卡托(Nicholas Mercator, 1620-1687) 的德国数学家出版的一本新书，里面给出了通过求双曲线面积计算对数log(1+x)的方法。巴罗回复说他的一位年轻的同事（牛顿）已经给出了解决这类问题的普遍方法，并让牛顿撰写了一篇论文《无穷级数的分析》(De Analysis per Aequationes Numero Terminorum Infinitas，以下简称《分析》)寄给柯林斯，阐述其方法。在此文中牛顿给出了积分和微分的一些法则和实例，包括求出多种曲线下的面积， 以及指数函数和三角函数的无穷级数表达式。柯林斯请求发表这一论文，但牛顿不同意，并以这一著作内容不够完整为由向柯林斯索回了这一论文。不过，柯林斯在将论文寄回给牛顿之前自己也抄录了一份，这是后来微积分之争的一篇关键文献。

牛顿在《分析》中阐述了他的微积分方法。对于已知物体的位置随时间变化的情况下求其速度的方法，牛顿后来将其称之为求流数(fluxion)，用现代术语说也就是求对时间的导数，牛顿用在变量字母上方加点来表示。牛顿也给出了其逆运算，即已知速度求其位置，牛顿后来称之为求通量（fluence）也就是对时间求积分，牛顿用围绕被积函数的方框表述。牛顿也指出在几何上如何用上述方法求曲线的切线和面积。不过在最早的这篇《分析》中，牛顿还没有采用“流数”这个术语。柯林斯私下把《分析》一文给许多人看过，还写信将其主要结果摘要介绍给了一些学者，这使瓦利斯(John Wallis)、格里高利(David Gregory)等同时代英国数学家都对牛顿的才华深为钦佩。不过尽管柯林斯建议牛顿出版这些结果，但牛顿却坚决拒绝。这一时期牛顿撰写的多篇论文都未能及时公开出版，为后来与莱布尼兹的争端埋下了祸根。

图2. 中青年时代的牛顿

从我们现代人的角度，可能不太容易理解牛顿为何如此不愿出版这些著作。现代学者已形成了有发现就应写成论文发表的习惯，甚至可以说，如果一项工作还没有发表，就不算完成。但是我们不应忘记，迅速出版学术成果在当时还是一件比较新的事物，古代学者一般是通过著书来发布自己的结果的，有时还只公布结果而长期对方法保密。事实上，莱布尼兹在发明微积分后也拖了8年才发表。牛顿在给柯林斯的信中曾表示他自己还过于年轻，尚不适合发表著作。不过另一方面，牛顿在巴罗、柯林斯等人多次劝他发表的情况下仍然不发，也有其个性和遭遇方面的原因。牛顿是个非常在意别人批评的人。在他因发明反射式望远镜而被选为皇家学会会员后，曾发表了一篇光学论文，但立即引起了一些争议。身为皇家学会元老的胡克尖锐地攻击了初出茅庐的牛顿，此外还有一些其他人质疑牛顿。这些批评者对有关问题并不很理解，却不断提出一些低级问题，这令牛顿对答复他们感到很不耐烦。另一方面，牛顿又是一个拿起一件事就必须做完、做好的人，对于批评他总要回复反驳，而且回复的稿子都要反复修改完善，因此他又要花大量时间，这令牛顿非常痛苦。此后，牛顿就不太愿意公开发表自己的作品了。

另外，当时微积分的许多结果是使用无穷小量等不太精确的语言导出的，牛顿或许感到它更容易被批评和质疑（牛顿去世后，著名的英国唯心主义哲学家贝克莱果然就此提出了质疑）。后来他在《自然哲学的数学原理》（以下简称《原理》）中没有直接使用微积分，而尽量使用一种经典几何的方式来表述他的结果，可能也在一定程度上是因为这种担心。直到十九世纪，才形成了更严格的微积分表述形式和证明，也就是现代高等数学教材中那套让初学者头大的所谓 “ε-δ语言”。

牛顿虽以数学、物理方面的研究而闻名于世，但终其一生，他在这些方面的研究总是突击式的，像在“奇迹年”（1665-1666）期间，以及在撰写《原理》（1685-1687）时，牛顿都是在短时间内爆发，集中全力研究，而其它时候对这些题目却往往兴趣寥寥。因此，1672年后牛顿对柯林斯的回复就很冷淡，声称自己现在对数学和哲学（物理）已没有兴趣，而主要在研究化学（炼金术），因此没有时间完成数学论文的撰写，这我在《苹果》一文中已做了介绍，这里不再重复。除炼金术外，此时牛顿还在进行一项秘而不宣的研究，就是神学研究。他特别感兴趣的是根据圣经和其它古代文献还原西方古代重大事件的纪年，以及根据圣经对未来特别是“审判日”也就是世界末日进行预测（牛顿预测的审判日在2060年）。尽管在后世的我们看来，他的这些炼金术和神学研究几乎等于浪费时间，而预测未来更是类似《推背图》的荒诞不经，但对于当时的学者来说，投入时间研究这些其实也并不奇怪，比如牛顿的前辈巴罗也是如此。

图3. 剑桥三一学院中的牛顿雕像

但是，牛顿的神学研究却一不小心把他带上了一条异端之路：虽然像当时几乎所有的欧洲人一样，牛顿从小就虔诚地信仰上帝，但身为剑桥三一学院研究员(fellow)的牛顿对基督教核心教义之一的三位一体学说产生了强烈怀疑。基督教和犹太教、伊斯兰教都是一神教，也就是认为世界上只有一位神（上帝），如果崇拜这位之外的其它神，则被认为是偶像崇拜，是亵渎神明的。但是这就带来一个问题，那就是耶稣究竟是神，还是人？如果是后者则不能崇拜，而如果是前者则似乎与神的唯一性发生矛盾。基督教的正统教条是所谓三位一体，也就是圣父（耶和华）、圣子（耶稣）、圣灵（上帝）都是一体的，所以崇拜耶稣也就并不违反崇拜唯一的神。但这个概念颇令人困惑，因为圣经里明明有耶稣经历上帝考验等情节，如果耶稣与上帝是一体的，又为什么需要经受考验呢？对此早就有人提出质疑，其代表是四世纪埃及亚历山大的教士阿里乌斯，他认为耶稣也是人而不是神，只是地位比凡人高，但基督教教会把阿里乌斯教派宣布为异端。牛顿认为三位一体教义是错误的，但牛顿终其一生都没敢公布自己的这一观点，只有少数和他具有相似观点的朋友可能知道他的想法。

不过，这给牛顿带来了一个问题：按照三一学院章程，在担任研究员若干年后，牛顿应该领受教会圣职。虽然这个圣职只是名义上的，并不需要他承担实际的教会工作，但作为对宗教信仰极为认真的人，牛顿无法宣誓遵从他不认同的教义，这样一来他将无法继续呆在三一学院，而且他的异端思想也将暴露，这在当时无异于社死。好在最后关头，巴罗帮他争取到国王查理二世的特旨，以减轻负担为由免除了卢卡斯数学讲座教授担任圣职的义务，牛顿躲过了这一劫。此后牛顿小心翼翼地隐藏着自己的异端观点，不过，牛顿最后在去世前还是拒绝了教会的临终圣礼，以表明自己不认同正统教义。

2.     莱布尼兹

莱布尼兹(Gottfried Wilhelm Leibniz, 1646-1716)研究微积分取得突破的时间是1675-1676年，大约比牛顿晚10年，但他却是首先发表这一结果的，我们现在仍然使用的微积分术语和符号就来自他的著作。

莱布尼兹1646年生于莱比锡。尽管比牛顿小3岁，但他却与牛顿同一年进入大学学习，并仅用一年时间就获得了哲学学士学位。此后他又学习法学，1666年获得法学博士学位。当时德国由多个小诸侯国组成，有点类似中国的春秋战国时代，莱布尼兹也有点类似那个时代的苏秦张仪。他结识了美茵兹选帝侯的首相并献上一计：诱使法国进攻埃及，从而免除其对德国诸侯的威胁，因此1672年莱布尼兹被派遣到巴黎担任外交使者助手。他的外交计策没有成功，不过莱布尼兹却在巴黎结识了惠更斯等当时的一流学者，也迅速学到了最新的数学。

1673年2月，莱布尼兹又随美茵兹使团从巴黎前往伦敦，借机造访了皇家学会。莱布尼兹在学会展示并讲解了他新发明的可以完成加减乘除运算的机械计算器（此前帕斯卡已发明了可以进行加减运算的计算器），不过令他尴尬的是，此时这一计算器还没有做好，无法实际运行，因而受到胡克的嘲笑。胡克仔细研究了莱布尼兹计算器后，不久就自己做了一个可以运行的计算器。更糟的是，莱布尼兹在访问著名化学家波义耳(Robert Boyle)时谈到他的一项数学成果，却被在场的一位英国老数学家派尔(John Pell)指出，这一结果之前就已有别人做出来了，并印在一本法文书里。莱布尼兹从未听说过这书，他后来解释自己是独立的发明，并非剽窃别人。四十多年以后，在莱布尼兹和牛顿争论谁先发明微积分时，此事也作为莱布尼兹的劣迹被再次提起。

尽管有这些挫折，莱布尼兹还是当选为皇家学会外籍会员，这可能是因为，当时的皇家学会秘书长奥登堡(Oldenburg)也是德国人，与莱布尼兹是同乡，对他颇有好感。在这一时期，皇家学会会长由政要挂名，因此学会秘书奥登堡是实际的负责人。莱布尼兹返回巴黎后，奥登堡让柯林斯写了一份关于英国数学的报告并托人带给他。柯林斯在报告中列出了每位英国数学家解决的数学问题，但并未说明其方法。在此期间，莱布尼兹的数学水平在以极高的速度提升，两年多后的1675年秋，莱布尼兹也独立地在微积分上取得了突破。

1676年，莱布尼兹致信奥登堡，询问英国数学家得出的一些无穷级数展开，这是牛顿给出的，因此奥登堡和柯林斯请牛顿回复。牛顿并未见过莱布尼兹（此后也没有），但他还是通过奥登堡回了信。在第一封回信中，牛顿解释了他如何获得级数展开，以及如何用级数求得面积、体积等，并暗示了他还掌握有更多的方法。奥登堡转抄后发给莱布尼兹，莱布尼兹回了信，热情称赞了牛顿，说这封薄薄的信中所包含的信息量远大于一些卷帙繁浩的巨著。他也展示了自己的一些成果，同时又提出了一些新问题。牛顿于是又回了第二封信，在这封信中，牛顿在给出解答时说用到了他自己发明的一种普遍方法，也就是微积分，不过他仍然没有透露其具体内容，而是如当时流行的那样，给出了一个用于证明自己优先权的字谜(anagram)。这种字谜是把新发明的关键内容或诀窍总结成一句话，比如牛顿的总结是“给定任何数作为流量，求其流数，以及其逆问题”。如前所述，牛顿的流数其实就是求微分，其逆问题就是求积分。写成拉丁文是Data aequatione quotcunque fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire; et vice versa。而字谜则是给出这句话中每个字母出现的次数。比如牛顿给出的字谜是“6accdæ13eff7i3l9n4o4qrr4s8t12vx”，因为这句话中字母a出现了6次，字母c出现了2次，d出现了一次，......，这类似于现代计算机中的“哈希”。 显然，对方不可能猜出这句话是什么，而将来牛顿要证明自己当时已发明了这一方法，只要写出这句拉丁文诀窍，就可以验证其中每个字母的数量确实与字谜中给出的一致。多年之后牛顿才公布了他这个字谜的谜底。

不过莱布尼兹虽然不知道牛顿的谜底语句到底是什么，但由于下面的原因，他可能知晓了牛顿的方法。还在牛顿回这第二封信之前，莱布尼兹再次来到了伦敦。此前雇佣莱布尼兹的美茵兹选帝侯和首相在他来到巴黎后不久后就相继去世，莱布尼兹陷于失业。他希望能在当时的科学文化中心巴黎找到一个职位，但遗憾未能如愿。最终，他被另一个德国诸侯布伦瑞克公爵聘用，现在要去雇主所在地汉诺威就职了。在经水路前往汉诺威的路上，他来到伦敦，把一台能工作的计算器交给了奥登堡，算是找回了自己的面子。他也见到了柯林斯，并靠渊博的学识震动了柯林斯，使他一时冲动把自己的秘藏都展示给莱布尼兹看，其中就包括他抄录的牛顿的《分析》。莱布尼兹还摘抄了一些柯林斯收藏的文献内容，其中就包括《分析》中的一些内容，这些被后世历史学家在他的笔记中发现。有趣的是，他摘抄的是一些关于级数的内容，但并未摘抄关于如何做微分和积分的内容。后世的历史学家一般认为，这是因为莱布尼兹此时已自己发明了微积分，因此对这些求微分和积分的内容已无需抄录，而牛顿给出的级数对于当时的莱布尼兹来说仍是新鲜的知识。

图4. 中年莱布尼兹

莱布尼兹走后，柯林斯意识到自己犯了错，因为牛顿并未授权给他抄录这一论文，更不用说将论文展示给别人看了。但他不敢把此事告诉牛顿，而只是再次建议牛顿发表这一结果。如果此时牛顿公开发表他的微积分，那么莱布尼兹将无话可说，因为到此时为止他的数学发现都是牛顿在之前早已做出的，而且他还当着柯林斯的面看过牛顿的著作，所以就算声称自己是独立发明的微积分都难以让人相信。然而牛顿依然不为所动，不愿发表其成果。

莱布尼兹在汉诺威安顿下来后给牛顿写了两封回信，其中给出了他自己的微积分方法—从这点看，他应该是了解到牛顿已发明了微积分，所以才会公开自己的方法，不过他也并未告诉牛顿他在柯林斯处读了《分析》。莱布尼兹希望继续与牛顿通信，他是个著名的通信者，每年写的信都在300封以上。尽管已经过了几个世纪，学者们到现在都还没有整理完他的通信—他的通信用多种不同的欧洲语言写成，内容又极为广泛，整理也确实非常不易。莱布尼兹有几篇后世著名的哲学作品，就是他与别人的通信对话。 如果这两位天才大师持续通信，会不会相互启发，推动数学和科学的巨大进展呢？但遗憾的是，牛顿并不喜欢与人通信，此时兴趣也不在数学上，而奥登堡恰在这时也染病去世了，于是这一通信就此中断。尽管从回信中牛顿知道莱布尼兹此时已掌握了微积分方法，却还是没有将其结果发表，他这种固执为自己埋下了苦果。

1683年，柯林斯也去世了。而1684年，莱布尼兹就在他参与创办的德国第一个学术期刊Acta Eruditorum（莱比锡《学者学报》）上发表了史上第一篇公开的微积分论文，Nova Methodus Pro Maximis et Minimis（极大和极小的新方法），介绍了微分学，1686年他又发表了第二篇论文，介绍了积分学。在这些论文中，莱布尼兹引入了我们现在还在使用的微分符号dy/dx 和积分符号 ò，以及相应的术语。莱布尼兹精心设计的符号使用方便，后来被普遍地采用了，我们今天也还在使用。

莱布尼兹在这些论文中并没有提到牛顿的工作。如果莱布尼兹更慷慨大度一些，在此时就提到他与牛顿的交流，无疑会显得更为光明磊落，但此时牛顿尚未发表其著作，因此莱布尼兹在此文中不提及牛顿也是可以理解的。不过，莱布尼兹在柯林斯去世后才公开发表微积分，这也有点让人怀疑，他是否是有意如此—如果他在柯林斯生前就公开发表微积分的话，柯林斯很可能会出来为牛顿主张这一发明的优先权。

未完待续