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比喻实例讲哲理,引玉之砖释小波 ----教学难点讨论之二 精选

已有 19223 次阅读 2011-3-28 11:40 |个人分类:科普札记|系统分类:科普集锦| 哲理, 小波, 教学难点, 直观解释

 

    曾经抛砖引玉议卷积 上文 《 辐射、服碘、补盐、空袭和卷积  针对教学中难点,借用直观例子对卷积作了解释,初衷为抛砖引玉,结果是“抛斧引班”----抛出了斧头,引出了鲁班群体,好些朋友在科学博客上发了好博文,或观点高、或方法简,或分析深,或应用好;朋友们的讨论对解决这一教学难点提供了更多思路。

   好像电视剧中常在结尾又来新任务,上文的评论中,两位朋友给了一个任务,希望对小波做直观解释

 

   又来“弄斧邀班”释小波数据挖掘中要用到小波,如基于小波分析的时间序列挖掘、聚类,分类、相似性搜索等,我们研究团队也有些实践[1,2,3],由于选修学生来自理工医文,基础有差异,部分学生反映学习小波像幼时背古诗文,不太爽顺,需要一些通俗解释。

   这个任务有点难。相关书籍相当厚,例如教科书[4]400多页,研究生用一个学期来学习,也是个不轻松的课程,仅靠个人博文难以胜任,只好再来一次“弄斧邀班”,请出科学网上的达人,一起来讨论这个教学难点。

   利用周末,从讲课的PPT中取了一些素材,写成这篇博文。以学过小波而觉不爽的学生为参考对象、以教学方法讨论为目的,从大思路、远轮廓、以及哲理的角度给讨论开个头,为避开复杂公式和形式化描述,采用例子和比喻来做解释,例子和比喻不能取代数学老师的严格训练。疏漏之处,请朋友们指正。

 

   小波三特点:一小、二波、三速降   1中给出了典型的小波,1号中规中矩、3号像白鹤亮翅,正视着读者;4号是哈尔小波,体型方头方脚,尺度有胖有瘦;5号是墨西哥草帽,漂亮且对称。

   从外形看,它们一粒珍珠落入了九寨沟那湖面如镜的镜湖,动静不大而信息丰富;首次冲击之后,激起的涟漪随时间很快地渐行渐小。这里说“”而不用“”,是因为有两个物理对象:(a)中心点的上下振动随时间变化的曲线图,它在人的想像中(可视为小波);(b)水面波,由周围的质点振动形成,且传递能量,可被视觉感知;因为前者是后者的原因,所以波形相像。特征可描述为: 一小、二波(有正有负,有起有落)、三速降。这些特性确保了小波分析的局部性,后两条还保证了在无穷区间上积分收敛,有如数学上的交错级数,有正有负,而绝对值渐行渐小,级数和不会无穷大。

 

 

   下面给出一些类比的例子,与小波相比,事虽不同,但哲理同;旨在说明采用有语义、有内涵的坐标基,可以描述比较复杂的对象。下面由浅入深地表述。

 

   几何坐标基底简单但缺乏语义 解析几何中,在直角坐标系 XYZ轴正方向上,各选一个单位向量,记为 ijk, 向量 V=a*i+b*j+c*k,对应从原点指向(a,b,c)那一点的向量。

   在等式两边点乘k, 立刻得到  V*k=c;  坐标值cvk上的投影的长度。(a,b也有类似意义),计算、存储和信息交换都很方便。

   但是,这可能误导初学者, 以为单位向量都是那么抽象、那么简单、没有内部结构、也没有语义。

 

   带语义的7维象棋空间 中国象棋讲究“势”和“力”, “势”由棋子类型及其位置的综合表达,“力”是一个7维向量,(红方的)向量基底是<帅,仕,相, 车,马,炮,兵>。向量(1,2,2,2,2,2,5)表示开局时红方16个棋子的全部力量。中国象棋中,子型不能变换,所以各维度可视为正交,而向量(1,1,0,1,0,0,0,0)就表示只剩下一帅,一仕,一 车的残局了。此例中,单位向量有一点语义了。

 

   人生追求的坐标系  考虑描述理想与追求的多维空间,设有坐标基底( 土地(亩),牛,炕,车,房,妻子,儿子,职称,论文,成果,….),则向量(30,1,1,0,0,1,100….)就表示了“三十亩地一头牛….”的那种低标准追求,…..

 

   音乐的合成与分解 一场有众多乐器的合奏,在菜鸟耳中,也许只是一个好听的波W。而乐队指挥或骨灰级的发烧友能够准确地把W按音色个性分解,例如,分解出W= 1*钢琴+3*提琴+1*长号+1*黑管+… ,在排练时,谁出了一点小错,都逃不过乐队指挥那明察秋毫的耳朵。

   这是以复杂对象(如钢琴,提琴,长号 等)为基元的分解,而不是傅里叶分解,傅里叶分解的基本单元是没有音色个性的Sin(ωt), Cos(ωt)。 w好像一盘东北农家名菜“大丰收”,而傅里叶分解把他们全磨成了带有频率标记的粉末,打乱后,再按频率标记分堆;已经品尝不到玉米、土豆、花生的单独的味道了。

 

   用墨西哥草帽小波来做基向量设有三个两两正交墨西哥草帽波UVW;根据其外形,依次给绰号为:胖帽,中帽和瘦帽。

 

 

   不难造一个波 Y=3*U+4*V+5*W ,即 Y可以由三个胖帽,4个中帽,和5瘦帽来合成。Y的形状比较复杂,普通人看到Y,难知其配方,好像按秘方配制的云南白药。而分解成3*U+4*V+5*W之后。就容易描述、分析、复制或重建了,下面是一个应用。

 

   人工多喷口间歇泉的池面波分析和异地重建为了简单,想象一个人工间歇喷泉,有三个涌泉水管,捆绑在一起(从而可简化为一个点涌),每隔N分钟,喷涌一次;

   精心设计喷口形状,使得喷涌波形(近似地)表达为三个墨西哥草帽小波,且草帽的尺度(暂理解为水平方向的代表性尺寸)为w1,w2,w3

   控制水压,使得三个涌泉口以一定的加权系数p.q.r喷涌, 他们在时间上依次延时b秒(时间轴上的平移b)。

   结果,观众看到了复杂多变的美丽喷泉和一池水波。如果知道w1,w2,w3,b,p,q,r,则池面波形可计算、可重复,可在异地重建。

   现在反过来,设w1,w2,w3,b,p,q,r,或其中一部分是秘密参数。 用摄录像机记录下了池面的波的视频, 能够从视频分析出上述数吗?换言之,能把池面的波分解为小波基底上的向量吗?

   不知类似的分析能否在防洪堤坝的管涌分析方面找到应用?

 

  小波压缩和信息编码  如果上述分解成功了, 就不需要存储和传送复杂的池面的波函数,而只需传递w1,w2,w3,b,p,q,r等数值。如果系数p比q,r10000忽略它引起的失真很小,这就就压缩了小波,在异地重建时,可节约经费。如果秘密参数w1,w2,w3,b,p,q,r包含一条重要信息的编码,间歇喷泉就构成了喷泉密码或小波密码;外行看到的是美丽的喷泉,内行知道其传递的消息。  

 

   由解析几何常识,正交的基向量能使表达简单,怎样寻找正交的小波基呢:方法之一是:

   时间平移创造正交 下图中有4个尺度一样的但带不同时间平移的Harr小波,现说明他们是正交的。

 

 

   两个 函数U(t)V(t)的向量内积 U*V= |U|*|V|cos(α) = U(t)V(t) dt   (在一定的积分限上)

   如果内积为0,表示α为直角, 称两函数(向量)正交或无关(没有缘分)。

   看他们都长得端庄方正,似乎有缘,由于巧妙的延时,它们约会作内积时,你不为零我为零,我不为零你为零,总是相错,即使相约无穷长时间,内积还是为0;那匍匐在横轴上的长长尾巴,就像一声长叹:实在是有缘无分。易见,上面4个向量是两两正交的。

   其他类型的小波要复杂一些。大致情况是:在适当的时移之下,两个小波的主部在时间上错开,而次要部分的绝对值渐行渐小,又正负抵消,以至内积为零,当然,有了直观启示后,还需要严格的数学计算。

   所以,用适当的时移可以创造正交的向量集

 

   博文已经较长,剩下的内容还要长一些,或许更有趣一些,拟在下文中回答下列问题:

      问尺度,常听说2K倍尺度,为什么2K倍尺度能创造正交小波?有直观解释吗?

      问显微,人说小波分析是数学显微镜?怎样显微,有直观解释吗?

      问基底,怎样直观地构造一个小波正交基底?有直观解释吗?

 

 

相关博文

 
 
 
参考文献

      [1] 陈安龙, 唐常杰, 元昌安, 朱明放,  ,基于小波和偶合特征的多数据流压缩算法, , 软件学报 Vol.18, No.2P177-184

      [2]陈安龙, 唐常杰, 傅彦, 廖勇, 基于能量和频繁模式的数据流预测查询算法,软件学报,2008,Vol.19 ,,N0.6 PP,1413-1421

   [3] Zheng Jiaoling, Tang Changjie, Qiao Shaojie, Yang Ning, Wang Yue, Chen Yu, Zhu Jun, MMIR: Mining Multi-scale Intervention Rules in Sub-Complex System, The 12th International Asia-Pacific Web Conference (APWeb 2010, pp369-371)  

      [4]成礼智等, “小波的理论和应用”(研究生教学丛书),科学出版社,2004.9

 

 



大话卷积
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