适用：数一/数二/数三，数列极限 $ \lim\limits_{n\to\infty}x_n $

一、定义法（ε‑N定义）

$$\lim_{n\to\infty}x_n=A \iff \forall \varepsilon>0,\exists N>0,\forall n>N,|x_n-A|<\varepsilon$$ 考研很少直接证明，多用于选择题概念辨析。

二、夹逼准则（迫敛性）

若 $y_n\le x_n\le z_n$，且 $\lim y_n=\lim z_n=A \implies \boldsymbol{\lim x_n=A}$典型题型：n项和、根式、取整 $$\lim_{n\to\infty}\left(\frac1{n^2+1}+\frac1{n^2+2}+\dots+\frac1{n^2+n}\right)$$

技巧：放缩抓最大、最小分母。

三、单调有界准则（递推数列核心 $x_{n+1}=f(x_n)$）

单调+有界 ⇒ 数列收敛，极限存在。 步骤：

1. 先证有界：数学归纳法；不等式；观察初值

2. 证单调性：$x_{n+1}-x_n$；$\dfrac{x_{n+1}}{x_n}$；$f'(x)$ 判断 $f$ 增减

3. 设 $\lim x_n=A$，对递推式两边取极限 $(A=f(A))$，解出A，舍去不在界内的根。

易错：必须先证收敛，再解方程，不能直接递推取极限。

四、转化为函数极限（海涅定理）

海涅：$\lim\limits_{n\to\infty}x_n=A \iff$ 对任意 $n\to\infty$，函数子列极限为A。 若 $x_n=f(n)$，则 $$\lim_{n\to\infty}f(n)=\lim_{x\to+\infty}f(x)$$ 可以洛必达、泰勒。 ⚠️只适用于通项是连续函数形式；递推数列一般不用。

五、定积分定义（n项和，区分夹逼与积分）

$$\lim_{n\to\infty}\frac1n\sum_{k=1}^n f\left(\frac{k}{n}\right)=\int_0^1 f(x)dx$$ 识别特征：$\frac1n$ 为步长，$\frac{k}{n}$ 是分点。

• 不能提出 $\frac1n$：优先夹逼

• 能写成 $\frac1n\sum f(\frac{k}{n})$：定积分

六、Stolz定理（考研高频大题工具，$\frac{\infty}{\infty},\frac{0}{0}$）$ \boldsymbol{\dfrac{\infty}{\infty}} $ 型 Stolz

${y_n}$严格单调趋于$+\infty$，则 $$\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}$$ 右边极限存在（或$\pm\infty$）等式成立。

$\boldsymbol{\dfrac{0}{0}}$型 Stolz

$y_n$严格单调，$x_n\to0,y_n\to0$，则 $$\lim_{n\to\infty}\frac{x_n}{y_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{x_{n+1}-x_n}{y_{n+1}-y_n}$$

常用于：$ \dfrac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n} $；求递推数列极限；等差分母。

七、级数法

$\lim\limits_{n\to\infty}x_n$，若级数 $\sum (x_{n+1}-x_n)$ 收敛，则 $x_n$ 收敛。 $$x_n=x_1+\sum_{k=1}^{n-1}(x_{k+1}-x_k)$$ $\lim x_n$ = 初值 + 级数和。 判别：比值判别、根值判别判断级数收敛，得到数列收敛。

八、等价无穷小替换（$n\to\infty$，令 $t=\frac1n\to0$）

$n\to\infty$，$\dfrac1n\to0$，把通项改写为关于 $\frac1n$ 的无穷小，等价替换。 例：$\sqrt[n]{a}=e^{\frac{\ln a}{n}} \sim 1+\frac{\ln a}{n}$

九、泰勒展开（处理复杂通项）

将通项在 $(1/n)$ 处泰勒展开，抓主部，求极限。适合 $n(\sqrt[n]{u_n}-1)$ 这类。

十、子列性质（判断发散）

• $\lim x_n=A \iff$ 所有子列极限都是A

• 找两个子列极限不等 ⇒ 数列发散。 常用：奇偶子列 $x_{2n},x_{2n-1}$，振荡数列。

十一、算术平均、几何平均极限（柯西第一第二极限）

1. 若 $\lim\limits_{n\to\infty}x_n=A$，则 $$\lim_{n\to\infty}\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}=A$$

2. $x_i>0,\lim x_n=A \implies \lim \sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}=A$

   可以用Stolz直接证明。

📌题型匹配速查表

1. 递推 $x_{n+1}=f(x_n)$：单调有界准则（优先）；也可Stolz；奇偶子列

2. n项相加：夹逼准则 / 定积分定义

3. $\dfrac{x_n}{y_n}$，分母单调趋向无穷：Stolz定理

4. $x_n=f(n)$直接表达式：海涅定理转函数极限，洛必达/泰勒

5. 判断发散：找两个不同极限子列

6. 通项是乘积：取对数转为求和，几何平均

7. 抽象数列概念题：ε‑N定义、子列

⚠️考研常见坑

1. 递推数列，不证明收敛直接解方程求出A，步骤扣分

2. 混淆夹逼准则和定积分定义，该积分用了夹逼得不到精确值

3. Stolz定理条件：分母严格单调，不能随便用

4. 海涅定理只能$n\to\infty$，不能反向；不能用于递推式

5. 等价无穷小只能乘除，不能加减直接替换。

转载本文请联系原作者获取授权，同时请注明本文来自张祖锦科学网博客。
链接地址：https://blog.sciencenet.cn/blog-287000-1549775.html

上一篇：Fibonacci 数列简介及其性质


欢迎参加科学网十佳博文评选活动！

主办单位：    支持单位：