递推定义： $$ \begin{cases} F_0=0\\ F_1=1\\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2},\quad n\ge 2 \end{cases} $$ 数列：$0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\dots$ 通项（比内公式） $$ F_n=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[\left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^n-\left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^n\right] $$ 

 重要性质

 1.黄金分割极限 $$ \lim_{n\to\infty}\frac{F_{n+1}}{F_n}=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx 1.618 $$ 2.卡西尼恒等式 $$ F_{n+1}F_{n-1}-F_n^2=(-1)^n $$ 3.求和公式 $$ \sum_{k=0}^n F_k=F_{n+2}-1 $$ 4.平方和 $$ \sum_{k=1}^n F_k^2=F_n F_{n+1} $$ 5.加法定理 $$ F_{m+n}=F_{m+1}F_n+F_m F_{n-1} $$ 6.整除性质 $$ \gcd(F_m,F_n)=F_{\gcd(m,n)} $$ 若 $m\mid n$，则 $F_m \mid F_n$。 

 7.皮萨诺周期：对任意整数 $m$，$\{F_n \pmod m\}$ 具有周期性。

支持单位：