一、定义

在△ABC 中，以三个顶点为圆心，作三个两两相切的圆，称这三个圆为三角形的顶点圆。

二、顶点圆半径推导

设△ABC 的三边为：BC = a，AC = b，AB = c；半周长满足：

s=(a+b+c)/2

以 A、B、C 为圆心的顶点圆半径依次为 r_A、r_B、r_C。由三圆两两外切，圆心距等于对应边长，可得方程组：

{r_A + r_B = c

r_A + r_C = b

r_B + r_C = a}

三式相加得：

2(r_A+r_B+r_C)=a+b+c=2s

r_A+r_B+r_C=s

因此，顶点圆半径为：

r_A = s-a, r_B = s-b, r_C = s-c

三、旁切圆半径公式

设与边 a、b、c 分别相切的旁切圆半径为 r_a、r_b、r_c，△ABC 的面积为 Δ，根据三角形旁切圆半径的经典结论，有：

r_a=Δ/(s-a), r_b=Δ/(s-b), r_c=Δ/(s-c)

四、核心恒等式证明

将顶点圆半径与对应旁切圆半径相乘，消去半周长相关项，可得：

r_a·r_A = Δ/(s-a)·(s-a)=Δ

r_b·r_B = Δ/(s-b)·(s-b)=Δ

r_c·r_C = Δ/(s-c)·(s-c)=Δ

于是，得到核心恒等式：

r_a·r_A = r_b·r_B = r_c·r_C = Δ

五、结论

三角形顶点圆与对应旁切圆的半径乘积，恒等于该三角形的面积。这一恒等式打破了顶点圆与旁切圆的位置隔阂，清晰展现了三角形内部圆系与外部圆系之间精妙的代数对偶性，是三角形几何中极具美感的重要结论。

三角形顶点圆与旁切圆的优美恒等式.docx