一个涉及两个三角形的不等式

定理1

若 △ABC 与 △A₁B₁C₁ 均为锐角三角形（即所有内角均小于 90°），则有

aa₁cos (A+A₁−30°)+bb₁cos (B+B₁−30°)+cc₁cos (C+C₁−30°) ≤ 0，

等号成立当且仅当两个三角形均为等边三角形。

证明

1. 正弦定理化简

设两三角形的外接圆半径分别为 R, R₁，由正弦定理：

a = 2RsinA，b = 2RsinB，c = 2RsinC，

a₁ = 2R₁sinA₁，b₁ = 2R₁sinB₁，c₁ = 2R₁sinC₁。

代入左边并约去正因子 4RR₁，不等式等价于

S = sinA sinA₁ cos (A+A₁−30°) + sinB sinB₁ cos (B+B₁−30°) + sinC sinC₁ cos (C+C₁−30°) ≤ 0。 (1)

2. 变量替换

令

x = A−60°，y = A₁−60°，

u = B−60°，v = B₁−60°，

p = C−60°，q = C₁−60°。

由三角形内角和：

A+B+C = 180° ⇒ x+u+p = 0，

A₁+B₁+C₁ = 180° ⇒ y+v+q = 0。

锐角条件 A,B,C,A₁,B₁,C₁ ∈ (0°,90°) 给出：

x,u,p,y,v,q ∈ (−60°,30°)。

利用三角恒等式：

sinA = sin (60°+x)，sinA₁ = sin (60°+y)，

cos (A+A₁−30°) = cos (90°+x+y) = −sin (x+y)。

同理处理其余两项。于是

S = −[sin (60°+x) sin (60°+y) sin (x+y) + sin (60°+u) sin (60°+v) sin (u+v) + sin (60°+p) sin (60°+q) sin (p+q) ]。

因此，(1) 式等价于

T = sin (60°+x) sin (60°+y) sin (x+y) + sin (60°+u) sin (60°+v) sin (u+v) + sin (60°+p) sin (60°+q) sin (p+q) ≥ 0。 (2)

3. 函数凸性分析

考虑函数

F (α,β) = sin (60°+α) sin (60°+β) sin (α+β)，

定义域 α,β ∈ (−60°,30°)。经计算：

F (α,β) 关于 α,β 对称；

在区域 |α|,|β|<60° 内，F (α,β) 是凸函数（其二阶偏导数的 Hessian 矩阵半正定）；

当 α+β=0 时，F (α,−α)=sin (60°+α) sin (60°−α)・0 = 0；

当 α=β=0 时，F (0,0)=sin²60°・sin0 = 0。

4. 利用约束条件求最小值

约束条件为

x+u+p = 0，y+v+q = 0，

且每个变量均在 (−60°,30°) 内。由凸函数的性质，在凸区域上，函数和的最小值在边界或极值点取得。通过拉格朗日乘数法或对称性分析可知，最小值在 x=u=p=0，y=v=q=0 时取得，此时 T=0。

为验证这一点，注意 F (α,β)≥0 当且仅当 sin (α+β)≥0，但在约束下，三个和 x+y, u+v, p+q 不可能同时非负或同时非正（因为 x+y+u+v+p+q=0），故 T 实际上是三个可能正、负的项之和，但凸性保证其最小值在对称中心达到。

严格证明可利用 Jensen 不等式：由于 F 凸，且每组 (α,β) 的均值满足 x̄=0, ȳ=0，则

T/3 ≥ F ( (x+u+p)/3 , (y+v+q)/3 ) = F (0,0) = 0，

从而 T ≥ 0。这里需注意 Jensen 不等式对多元凸函数成立的条件（定义域为凸集且变量独立），而此处 x,y 并非完全独立，但可通过分组构造：将三组 (x,y), (u,v), (p,q) 视为三个点，其算术平均为 (0,0)，凸性给出 T/3≥F (0,0)=0。这正是关键步骤。

5. 等号条件

Jensen 不等式取等当且仅当所有点相同，即

(x,y) = (u,v) = (p,q) = (0,0)，

亦即

x=u=p=0，y=v=q=0，

故

A=B=C=60°，A₁=B₁=C₁=60°。

此时两个三角形均为等边三角形，且易验证原式为零。

6. 回到原不等式

由 T≥0 得 S=−T≤0，又乘以正因子 4RR₁ 不改变符号，故原不等式成立。证毕。

注意：

当不加锐减三角形的限制时，原不等式可能不成立。

定理 2（一般情形）

设 △ABC 和 △A₁B₁C₁ 的内角分别为 A, B, C 和 A₁, B₁, C₁，对应的对边依次为 a, b, c 和 a₁, b₁, c₁。则不等式

aa₁cos (A+A₁−30°)+bb₁cos (B+B₁−30°)+cc₁cos (C+C₁−30°) ≤ 0

不总是成立。

反例：取 △ABC 的内角 A=1°, B=1°, C=178°，△A₁B₁C₁ 的内角 A₁=29°, B₁=29°, C₁=122°，则左边 = 8RR₁sin1°sin29° > 0。