一维反铁磁自旋系统：有能隙与无能隙元激发
    多体系统低能激发的特征是凝聚态物理感兴趣的主题，低能激发有没有能隙(或者说激发有无质量)是系统的重要特征，系统的很多有趣性质都与之相关(例如BCS能隙保证了超导凝聚态的存在)。粗看来，很难理解一个多体哈密顿量的低能元激发会是无能隙能(微扰总是使能级之间的间距扩大)，因此一旦有无能隙激发的出现，我们就需要解释它。Goldstone模式提供了这样一种机制，通过破缺哈密顿量中的连续对称性，系统在简并的基态间涨落，形成了无能隙的元激发(例如超流体激发的声子)。但是，在凝聚态物理系统中，这样的系统是稀少的(X. G. Wen语)。
    显而易见，在一维的反铁磁系统中，量子涨落起了支配作用，系统的基态不具备Neel序。对于自旋1/2系统HAFC)，没有SU(2)对称性的破缺，同时LSM定理保证了无质量激发的存在，这正是Godestone Mode；另一方面，在自旋1系统中，反铁磁自旋链存在一个有限的激发能隙(Haldane Gap)。在一维这个极端量子的空间里，这个能隙的出现反而令人费解，需要解释。什么样的机制使得spin-1/2的HAFC具有无能隙激发，又是什么样的原因产生了Haldane Gap？这些问题上人们有了一些认识，但并未彻底搞清楚。

二维关联自旋系统：几何阻挫与自旋液体
    比起一维自旋系统来说，二维问题的经典性更强，但有着更加丰富的拓扑结构，这是人们对二维反铁磁问题感兴趣的原因。从研究手段来说，数值计算在二维遇到了阻碍，标志着精确数值计算典范的DMRG在二维遇到了精度和计算规模两方面得限制(用Imformatics的观点来看，这类问题属于NP-Hard问题)。如何构造一个有效的算法解决精确计算二维的自旋系统基态(乃至激发态)，就成为了大家关注的焦点之一。
    说二维反铁磁问题的经典性要强一些，一个标志就是Neel序在二维开始出现，在很多格子(Honeycomb、Square)中都可以看到他的存在，这样我们通过调整某些参数(几何各向异性或自旋耦合各向异性等)就可以看到体系发生有序-无序的量子相变。更加有趣的是，人们利用二维的拓扑结构，构造出了(并在实验上合成出了)一类特殊的几何阻挫系统，如三角格子、Kagome格子等。尽管进一步的研究指出，三角格子中实际上是存在面内的Neel序的，但对于阻挫更强的Kagome格子，其中是否有序并无定论。在一维问题中，无序的基态被称之为自旋液体态，在二维问题中是否存在自旋液体态这样一种奇异的量子态？二维丰富的拓扑结构是否会带来有别于一维的特征，用什么来刻画二维的自旋液体态以及不同自旋液体之间的拓扑量子相变？对这些问题的追问使得几何阻挫和量子自旋液体这一奇异量子态的研究方兴未艾。