有朋自美国来，工于术数几何，特向其请教流形、纤维丛及场之定义问题，兹记于此，以备忘。

     问题自场的狭义定义而来，即：场是底流形(Base Manifold)到靶流形(Target Manifold)的映射(Mapping)。

     首先，何谓流形，从最狭义的角度，流形是欧几里德空间的一个子集(不一定是子空间)，这个子集不一定是平直的，可以是一个平面、或者一个球面等等几何形状。流形可以放在欧几里德空间的背景中去理解(这一点由著名的怀特尼定理所保证，见下)，也可以作为独立的存在去研究，这是现代数学研究流形的两大流派。

    怀特尼定理：任何一个N维的流形都可以嵌入一个2N+1维的欧几里德空间中去。这个定理的重要性不言而喻。

     对于场而言，其底流形通常就是四维欧几里德空间(一维时间和三维空间)的一个子集(即一段时间和一段空间)。而靶流形要Fancy一点，可以是任意的数学对象，最简单的情况就是一维的标量场，此时靶流形就是一维欧几里德空间的子集。

    其次，澄清了上述场的定义并不意味着万事大吉，因为普遍的场的定义涉及到纤维丛(狭义的定义在一些情况下要失效)。
    要谈论纤维丛，首先要讨论丛空间。

     丛空间：一个N维的流形上的一个点加上这个点上的N维切空间算作一个新的点，这样流形上所有的点所对应的新的点构成丛空间。可以这样来形象的理解，即原来的流形上长出了“绒毛”就成了丛空间，在一些特殊的情况下会形成“纤维”。

     值得注意的是，一个流形所对应的丛空间("纤维")并不唯一，当流形所嵌入的欧几里德空间作一变换，此时丛空间也会发生变化，而所有的这样的纤维就形成纤维丛。

于是，场的广泛定义是：场就是底流形的一部分纤维丛(Fiber Bundles)。

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