数学是一门奇妙而精深的理论,任何一个刚刚涉入数学领域的学者都不得不惊异于数学方厦之壮美,下面我想列举几个令数学的门外汉们惊讶而对作数学学问的人来说却是极为常见的例子,以使无意涉足或惊惧于数学大门之外的人能够初步了解数学的思想方法.

在一个闭合的瓶中有一粒药丸,不打开瓶子能够把药丸拿出来吗?也许你会觉得只有魔术师能够作到,但任何一个有头脑的数学家都会觉得如同平地放着一个铁圈,不接触它而拿出放入其中的物体般易如反掌.用数学的语言描亦不会太复杂:假定此闭合曲面(即瓶壁)方程为f(x,y,z)=0 ,再引出一根与x,y,z皆垂直的 k,使f(x,y,z)=0,位于k=0的三维空间中.将质点(既药丸)(x0,y0,z0,0)先移至(x0,y0,z0,k0),k0=0, 然后在k=k0中任意移动质点的位置均不会触及位于与之所处三维空间平行的k=0 之上的f(x,y,z)=0.当然可将质点一至一点(x’,y’,z’,k0),而(x’,y,z’,0)是位于f(x,y,z)=0,k=0这个闭合曲面之外.最后,江(x’,y’,z’,k0)移至(x’,y’,z’,0),便大功告成.没有人能找到这根k轴 ,但数学决不会不承认它的存在.事实上,数学的很多理论都是建立在经过严密证明的超出三维的多维空间之上.

大家头脑中都存在数目相等的概念.多一个就是多一个,难道这还有错?对于数学,这里面却大有文章可做.我们可以把相等定义为可以建立一一对应的关系,而如集合A中元素可以一一对应于集合B的一个子集,则说集合A中元素的数目小于或等于集合B中的数目.大家应该都接受这个观点.好,该是展示数学威力的时候了。(0,1)与[0,1]哪个中包含实数的数目更多呢?难道后者不是比前者多吗?确实并非如此.如果我们把前者中包含的元素与后者中建立起这样的对应:1/2<->0,1/4<->1,(1/2)的n＋２次方<->(1/2)的n次方,前集合其他元素<->后集合其他元素,那末"相等"的结果就会变得非常明显.同样,我们很容易建立有理数对于无理数的一个真子集的一一对应,但任何人都没有找出与之相反的对应--实际这也是不可能的--,已经经过严格的证明,无理数的数目(阿列夫)确实比有理数的数目多(阿列夫0)要多.从这种意义上说,数学是最能忽略现象的迷惑而直窥本质的学问.

下面我还想住几个更实质的接近数学思想精髓的例子.

没有人会否认1+1=2,而数学家们却对此提出异议.如果把"+"仅作为一个符号,这个结果能唯一吗?经过深入的研究,他们发现,任何的数域加法都涉及四个性质:1.a+b=b+a 2.(a+b)+c=a+(b+c) 3. a+0=0+a=a a+(-a)=0.那末如果规定如加法般的数域的闭合运算亦具有这样的四个性质而把加号仅仅作为一种标志此类运算的符号,难道不能称之为加法吗?我们脑中固有的"+"如其他事物一样是符合马克思主义辩证法的,只要我们规定(方便起见,在原来所有符号上加~)~＋ <->乘法运算, ,~(-a)<->１／a,~０<->1(你会发现，原来式子中的一切元素也均变为了仅仅用于记录的符号），规定于正实数上得乘法运算便改变记录方法.

我们可以举一更易于理解与直观的例子.三角形内角和180度吗?尽管已得到了科学界广泛的承认,对于数学,结果却是值得怀疑的.众所周知,三角形是由三段线段首尾相连构造而成.而线段是一个公理的结果,没有绝对错误的公理,也没有绝对正确的公理,因为它是不可证明的.我承认它,那么基于其上的理论体系便是值得相信的,我不承认它,那么他们就不得不重新被研究.现在,我不承认"直线"相关的公理,而认为圆弧是直线,两点间线段即以两点为直径的一个圆弧(这样两点间线段便不唯一了).没有人能证明我有错,尽管也不可能有理论证明我的观点正确.那么,一个球面的八分之一的闭合边缘曲线,便可以说是三段线段,很显然这个所谓"三角形"内角和为270度.这时你还不能说那个理论是正确的吗?

以上所述仅仅触及了几门最基本的数学学科的一点皮毛,深入核心后远不知要比这些简单理论精妙多少.真正的数学家不会相信它所见到的一切,他们的头脑中只存在着通过自己的努力而构造的严密复杂数学体系,其中每一点理论都是有法可依的,但无论多繁琐与让人感觉精妙,不管多庞大的数学系统总是建立在少的令人吃惊且非常易于理解的公理上的,这些公理不需要也不可能被证明,因为真正精炼而纯粹的数学科学决不会让多余的公理出现,它只接受最少最基本的可以让大家接受或者可以说服大家觉得它很适合现实情况的公理基础系统.

大多数人都相信自己所见到的一切事实,也许他们觉得傻瓜才不这样想.然而,真正伟大的数学家从未被自己的眼睛所迷惑,他们只相信经过严密推理的理论,而根本不去理会其结果有多么的令人感到荒谬与可笑.事实证明,往往这些"荒谬"与"可笑"的理论得了令人诧舌的成功,之后才不得不被广泛承认.没有人会认为按照数域中的加法的结果会因所加实数交换顺序而改变,更没有人觉得做为标准刚体的棍子会无缘无故缩短,只因其位于观测者的另一个参照系上,直到一切经历了理论家们严格的推理与时间的证明.所以要想成为如黎曼,爱因斯坦般异常出色的科学家,除了普通科学家所必须备的勤奋精神与天才素质,更重要的是敢于破旧开新的创造出一套完整的公理系统(当然要足以让人信服)与无畏的思考与创新.也许你的理论会被讥笑的体无完肤,但必须清楚,傻瓜与圣人如同缪误与真理般仅有一墙之隔,而这些正是数学作为基础学科的思想精神,数学理论的正确性完全与其严密性等价,只要能且仅能通过公理的严格证明便一定是正确的,而所有没有证明的或有待证明的都是值得怀疑的,即使事实就在眼前且得到大多数人肯定的承认,"眼见为实"不是一个数学学者所应采取的正确态度.而反过来,由于生理与其它限制,人类也不可能洞悉全部事实,即使就在眼前,我们依然见不到自己的睫毛。“怀疑一切”,正如马克思所说。

等待你成为未来的数学家且为大家展示更多姿多彩的数学世界！

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