1.

    上世纪90年代涨落定理的发现，推动了研究远离平衡态的随机热力学的快速发展。今天，随机热力学已经渐渐表现出一些“统一描述”的苗头，证明是这几年先后出版的简介随机热力学的书：例如 Peliti and Pigolotti, Shiraishi, Sekimoto.

    不同于由微观守恒动力学出发的统计力学，随机热力学由随机动力学出发研究热力学中缺失的动力学。涨落定理基于时间反演给出了远离平衡态统计物理系统满足的一些一般的特征。

    钱敏先生等于1979年出版了专著《可逆马尔可夫过程》。从这本书中可以看到在随机过程理论/非平衡定态统计力学的研究领域里中国学派曾领先国际物理学界多年。读钱敏先生为该书作的绪言，可以读到许多重要的概念，例如：

(1) 具有极限分布的马氏过程是一类限制很强但在物理中常见的随机过程：趋于定态（不一定是平衡态）的统计物理现象。

(2) 环流分解定理：平稳的马氏链可以分解为细致平衡（时间反演对称）和环流（时间反演反对称）两部分。如果不出现环流，马氏链是可逆的，细致平衡的，所以马氏过程可逆性是细致平衡的数学表达。细致平衡的定态是平衡态。无细致平衡的定态一定出现环流，有正的熵产生率，时间不可逆。

(3) 随机过程可逆性的研究起源于物理中以布朗运动为代表的涨落问题。Einstein 提出了布朗运动的物理模型，数学家 Wiener, Ito 等的研究使得一个数学上严谨的领域（扩散过程与随机微分方程）在上世纪五十年代建立。五十年代 Onsager 同时以高斯模型为工具系统地用随机过程讨论不可逆过程热力学的基础，提出了 Onsager-Machlup 路径积分。

(4) E. Nelson 首次提出了扩散过程可逆性的概念；从微分算子构造可逆扩散过程的问题；马氏过程理论与量子力学的关系；无穷维态空间中的马氏过程与公理化量子场论的构造问题；场论的观点考虑“可逆性”。

2. 在随机热力学中，

非平衡自由能：

(1) 将一个原来处于平衡态的封闭系，其热力学势是熵，与定义了温度的大热浴耦合。系统的平衡被打破，作为一个随机系统将演化到一个新的平衡。

(2) 定义一个非平衡自由能。注意：非平衡自由能不是状态函数。因为其同时依赖于系统的熵，和热浴的温度。

(3) 从非平衡自由能得到新平衡下的自由能可以走两条路：(A) 勒让德变换，优化对偶变量；(B)约束下泛函变分求平衡分布函数。二者均可得到新平衡下的热力学。

(4) 勒让德变换联系的总是平衡态热力学势，因为其涉及到极值化(极大或极小)过程。

(5) 勒让德变换更加准确的叫法是Legendre-Fenchel变换，因为，尤其在函数性质不够良好的情形下，Fenchel用凸分析(Convex Analysis)对这个对偶量之间的变换做了重要的贡献。

动力学：

(1) 利用概率分布演化满足的福克-普朗克方程(连续状态空间)或者主方程(离散状态空间)容易证明有细致平衡的非平衡动力学有一个极小原理，因此定义的非平衡自由能是一个李雅普诺夫势函数，随时间单调递减，在无穷长时间达到平衡态玻尔兹曼分布(即细致平衡下的稳态分布)，且非平衡自由能取极小，给出平衡态自由能。

(2) 在轨道上定义了随机熵，随机自由能，随机相对熵(随机Kullbeck-Leibler 散度)，这些随机量经过平均，分别给出定义在分布上的非平衡熵，非平衡自由能，相对熵(KL 散度)。

3.

(1) 考虑一个给定的状态空间，设状态的发生有一个内秉概率(Prior Probability)，通过在状态空间多次抽样的方法计算态发生的归一化频率(Empirical Frequency). 在无穷次抽样后，该抽样频率将收敛至内秉概率，大偏差原理(Large Deviation Principle)说这个收敛在抽样次数很大时由指数函数描述，指数肩膀上是抽样次数与一个大偏差速率函数(Rate Function)之积. 这个速率函数是个凸函数，极小值是零，称为相对熵或KL散度，实际上 (假定内秉概率为常数，即等概率假设后) 就是香农熵(Shannon Entropy)。对该速率函数做Legendre-Fenchel Transform (LFT) 后可以发现，频率函数的对偶量正是哈密尔顿函数，并在经过LFT后可以得到平衡态统计力学的结构。

    现在做压缩原理(Contraction Principle). 考虑宏观可观测量，例如内能，体积等. 这些宏观量对应的微观量是定义在态空间上的随机变量(Random Variable)，宏观量是微观量的统计平均值，通过取微观量与归一频率的内积得到。做一个LFT的变分问题：要求宏观量取给定值为条件，在频率空间做一个条件极值问题(Conditional Optimization)，(即拉格朗日乘子方法)，可以构建一个以宏观量为变量的平衡态热力学势函数，就是该宏观量由随机收敛至期望的大偏差速率函数，它是微观随机变量累积生成函数的LFT, 这样就得到平衡态热力学里的各种热力学势函数，及热力学结构。

(2) 量子场论里，规范变换不变性 -> 规范对称 -> 零质量规范波色子；统计场论里，临界点上的标度不变性 -> 标度对称 -> 零模; 破缺整体连续对称性会导致零质量南部-戈德斯通模(Nambu-Goldstone)（恢复所破缺对称的模）。零模 (Zero Mode) 是一个算子的本征值为零的模，这算子在场论里是对应于（闵氏场论）作用量或（欧氏场论）哈密尔顿量对态变量二阶导数的 Hessian 算子，本征值为零意味着体系沿着态空间上这个方向的运动不需要能量，即曲率为零，即该方向是平坦的，不稳定的，同时也意味着 Hessian 算子是不可逆的，因为零模使得算子的泛函行列式为零。因此零模又意味着不可逆。

    在帕里西-吴咏时 (Parisi-Wu) 的随机量子化(Stochastic Quantization)里，欧氏作用量（运动的势）的规范对称导致零模，导致漂移项(Drift)为零，因此零模运动在随机量子化里是纯粹的布朗扩散运动，同样这是由规范对称带来的。

4.

    变分原理在理论物理中处于中心重要的地位。因为经过变分原理，物理学的不同分枝可做一致处理，正如朗道-栗弗席兹(Landau-Lifshitz)展示的。

    物理中有两个变分原理：

(1) 处理含时演化动力学的最小作用量原理(Minimum Action Principle)， 得到运动方程 (Equation of Motion).

(2) 处理稳态极限下的最大熵原理(Maximum Entropy Principle)，得到状态方程 (Equation of State). 没有时间，多出涨落平均给出的温度（涨落耗散定理）。

    这两个变分原理的统一本质上是：如何由系统的(幺正)动力学严格地演化到平衡态，即一个量子系统是如何热化的？目前这是基础物理里具有基本重要性的问题。这一问题联系到许多大众科普里常提的内容：不可逆性；波函数塌缩；平行宇宙等。

5. 不连续平衡态相变的朗道理论：

(1) 定义好状态变量，在状态空间写下描述能量学(Energetics)的有效哈密尔顿量。有效哈密尔顿量包含能量与熵两部分贡献，因此事实上是一个相应尺度的有效自由能，这里熵贡献来自于一个给定态的微观态简并度。

(2) 朗道理论是一个平均场理论，体现在两个重要近似：(a)自由能近似为有效哈密尔顿量；(b)序参量近似为有效哈密尔顿量的极小点态取值。这样才有了遍历性破缺，有了相变。

(3) 全局极小态是平衡态。相变点由两个极小点态构型的有效哈密尔顿量相等定出。

(4) 给定一个平衡态，考虑其不连续相变，还有一个重要的点：Spinodal, 这是一个联系相变动力学(Phase Transition Dynamics)的概念，由在所考虑平衡态的线性失稳(Linear Instability)定义，即自由能或有效哈密尔顿量对态的二阶导数在该平衡态处取值为零的点，几何上，就是自由能-态曲线上该平衡点处曲率为零的点，Hessian矩阵的行列式为零的点。

    在相变点以下，系统演化到同一个自由能全局最小的平衡态，然而不连续相变的动力学不同：在相变点和 Spinodal 点之间定义了亚稳区，此时考虑的极小点线性稳定(正曲率），然而已不是自由能的全局最小点，该区域的相变动力学是Nucleation and Growth; 在Spinodal点以后，极小点线性不稳，动力学是 Spinodal decomposition. 在Spinodal点处，曲率为零，松弛时间发散，有类似动力学临界慢化的现象，动力学具有标度不变性。在连续相变中，相变点与Spinodal点重合，定义了临界点。