“序”，是一个非常有意思的概念，在汉语中，“序”可以表示堂屋的东西墙，或正房两侧的东西厢房，但“序”的主要意思是表示“次第”，按照一定的规则对事物的排列。 例如，我的日程表中有一个“任务列表”（todo list），这个列表中的任务是按照一定的优先等级排列的。这个优先顺序并不是按照时间顺序、也不是根据任务的工作量大小，而是按照“重要性”排列的。

集合论中也将“序”作为一个重要概念，除了序，还有所谓“偏序”（partially ordered）的概念。不过在我看来，“序”即是哲学味很强的数学概念，同时也是数学味很强的哲学概念。从后者的角度来看，“序”所表示的是由存在对象的排列方式不同所引发的语义差异。这话很拗口，什么是“因排列方式不同引发的语义差异”？宋朝的苏轼好做文字游戏，其中有一句：“人过大佛寺”，倒过来念就是“寺佛大过人”；两句包含的汉字都一样，但是表达的却是两个完全不同的命题，因此这个游戏给我们的一个哲学启示就是：存在的差异并非完全由存在本身的性质决定，存在对象之间相互位置的变化也可以引发同和异的翻转。当我们观察、体验某个世界时，对这个世界中的任何对象就存有辨识能力，包括对象的物理特征、内在属性、运动规律、以及对象间的关系，而相对的排列形式，当然也是对象间关系的一种。“序”，还是我们认识世界的一种模式，例如、每种语言都有一定的词序原则，尤其是汉语，语序是有时是决定字串是否成句的决定性因素。但是，什么是“序”，“序”的最一般概念是什么？至少于我来说，没有强有力的工具很难说清楚。集合论，正是这样的工具。

直观上，我们通常理解的“序”是空间相对位置的“序”，例如，a, b, c, d，可以代表任意4个可相互区别的对象。当我们得到这4个字母的信息时，同时也得到了它们相对空间顺序的信息，这个信息是通过它们的物理排列方式得到的。这个时候我们唯一不能确定的是，它们的排列顺序会不会产生“语义”的不同？换句话说，如果把这4个字母换一种排列方式，会影响它们的“值”吗？如果这4个字母代表一个四位数字，例如 3978，那么顺序就是至关重要的了，如果代表集合中的4个元素，那么顺序就无关紧要。

集合论中，“有序对”（ordered pair）的概念是对“序”的一种形式化解释，任意两个符号，放在圆括号中用逗号隔开，就表示“序”是引起语义变化的因素之一：通常，(a, b) ≠ (b, a)，除非a=b。一般的初学者会把(a, b)和(b, a)仅仅看做是a和b空间位置上的对换，而忘了背后的抽象意义。为什么这样说呢？我们来看一下一般教科书对有序对性质的表述：

(1) (a1, b1) = (a2, b2) 当且当a1 = a2 且 b1=b2

这个断言究竟在说什么？如果你把有序对表达式中两个元素仅仅看做是空间排列不同：“a在前，b在后”，那么(1)对于你来说是难于理解的。不错，有序对的形式化表示是借助了空间，但也仅仅是“借助”而已，“序”，就像前面所说，是一个比空间的“序”更为广泛的概念。例如，自然数的序是由数本身的语义决定的，而计算机科学中“排序”的概念，更是有不同的排序规则和基准，按空间位置仅仅是“序”这个概念下的一个实例而已。不过什么是“序”，有时连数学家也很难说清楚，例如早期的布尔巴基学派数学家们就曾经把“序”当做和“点”、“线”一样的原始概念不再定义。

那么集合论是如何定义“序”的概念的呢？我们知道，集合的一个性质之一就是“无序性”。用无序性的集合定义“有序”，这就需要有一个概念上的飞跃。这个飞跃需要我们把“序”的所有物理背景、包括空间位置、时间先后、数的大小、长幼有序、优先顺序等常识统统忘掉，这个时候再来端详(a, b)和(b, a)，你能想到什么？

在《Naive Set Theory》这本书中，作者是这样解释的，对给定的4个字母，a, b, c, d，我们可以像计算机程序一样，对这4个字母依次“扫描”：

1 扫描到a，我们为a建立一个集合，{a}

2 扫描到b，我们为a, b建立一个集合，{a，b}

3 扫描到c，我们为a, b, c建立一个集合，{a, b, c}

4 扫描到d，我们为a, b, c, d建立一个集合，{a, b, c, d}

这样我们就有了4个集合，然后把这4个集合聚合在一起，成为一个更大的集合

{{a}, {a, b}, {a, b, c}, {a, b, c, d}}

这个集合就是对a, b, c, d的“序”的定义。

“什么？”你会问，这叫什么定义？本来直观上很容易理解的顺序的概念让你这么一“定义”我反倒糊涂了。好吧，让我们接着说。现在我把这个集合换一种排列方式看你能“悟”到什么。

{a}

{a, b}

{a, b, c}

{a, b, c, d}

聪明的你现在一定看出点“端倪”了吧。这里有“序”的概念吗？好像有，但还是不太清楚，但是从“图形”上看，4个a、3个b、2个c和1个d，a应当是在最先，但这能说明问题吗？如果再换一个角度，想象a, ab, abc, abcd是4个英文单词，让你排序你如何排？当然a排第一了。去掉a，从b, bc, bcd，b当然排第一，以此类推。我们会得到a, b, c, d的顺序。 为什么要这么“麻烦”，放着好好的直观概念不用偏要用这么不直观的东西折腾我们已经熟悉的概念？我不想用“数学就是追求精确、逻辑推理”这样的大道理让你住嘴，因为学了10多年数学的你估计对这种数学上“政治正确”的口号已经有些厌倦了。我是说，当我们已经“忘掉”了关于“序”的所有直觉，包括时间、空间、数量、长幼等，那剩下来的还有什么呢？让我们思考30秒。

—————————哲学思考的分界线——————————————————————

是差异，就是这些符号排列数量所引发的差异。上面的4个集合，如果两两比较的话，就会发现，{a}和{a, b}的“差”在于前者有一个元素，后者有两个元素，“异”在于是否有“{b}”。这样我们把“同”的部分{a}和“异”的比较，就可看出“序”的一般性概念在于对象的异同比较上。

为了更清楚地说明问题，我们来看一下有序对的标准定义：

(a, b) := {{a}, {a, b}}

(b, a) := {{b}, {a, b}}

现在，我们对定义集合中的两个子集合做“并”运算：

{a} ∪ {a, b} = {a, b}

{b} ∪ {a, b} = {a, b}

怎么样？我们获得了同样的结果。现在问题来了，如果让你从右到左做逆运算，你回得去吗？回答当然是No。为什么？因为从{a, b}到并，是有歧义的。这个“歧义”，就是差异，就是{a} ∪ {a, b}和{b} ∪ {a, b}的差异，这个差异，就是“序”的本质。注意，这个时候，我们假定并不“知道”或者已经“忘记”关于“序”的那些常识性概念，一旦抽象出“序”的本质，也就是说，不管你是时间上的先来后到、空间上的前后左右高低、还是社会地位的尊卑长幼、或者是数字的大小，或者任何其它外在属性，“序”的本质只有一个：“差异”。只要任何对象之间存在一个“系统性”、或者说“同一性”的差异，就可以构成“序”，或称“有序”。如果这个差异是“非系统性的”，或者说没有规律的，那么就是“无序”，无序算是“序”吗？请参照前一篇对“无”的解释。如果你真的理解了“序”的本质，再回过头来看(1)中对“序”的解释就会有豁然开朗的感觉。为什么？当a=b时，{a} ∪ {a, a} = {a}, 而{{a}, {a}} = {{a}}，如果按照序的空间位置解释的话无法理解(a, a) := {{a}}。

总结一下，“序”的一般性概念，在于概念间的同质而不同量彼此形成同一性质的差异，这个思想放在一个集合论中的表述就是：元素间成员形成系统性、可预知的的差异，这个差异就是“序”概念的实质。至于这个差异是否空间意义上的前后顺序并不重要。例如有序对的符号表达（a, b），其背后的思想是：（a, b）和 (b, a)在a≠b的情况下互不相同，至于(a, b)和(b, a)如何不同，是排列空间排列顺序不同还是数值大小不同、或是根据其它排序准则并不重要。其实，“序”的汉语原意表示东西相对的墙或厢房何尝不是对有序对的绝妙解释呢！对称的东西厢房，其差异正反映了“序”的本质——异和同的共存。

目前我们对有序对的集合定义是由波兰数学家、逻辑学家库拉托夫斯基（Kazimierz Kuratowski）发明的。这个定义与其它定义相比较，最明快、简洁，而且抓住了“序”概念的实质。

和“有序对”相关联的概念就是“笛卡尔乘积”或称“卡氏积”（Cartersian product）。这个概念大凡对高中数学有印象的都不会陌生，但是很少有人真正思考其背后的思想。首先，我们知道笛卡尔发明了直角坐标系，而卡氏积不就是直角坐标系的代数表示吗？也就是说，卡氏积将数的概念从一维带到了二维。我曾经看到许多教科书在谈到卡氏积时声称：卡氏积和我们一般的乘法没有关系，这真是一种形而上学的思维！现在我们就来看看卡氏积和一般乘法的关系。

向量是我们在高中学过的概念，向量计算中有一种运算叫作标量乘法，标量乘以向量其结果仍然是一个向量：设c是一标量，N是一向量，那么 c·N=M，M也是向量。这个运算背后的思想就是对某个对象的“体量”(magnitute)成比例改变，同时保持对象本身性质没有变化。如果把这个运算限于一维的数轴，则就是我们小学学过的基本乘法概念：同一数量的多次叠加。例如：一斤苹果5元，买了3斤，多少钱？5元 x 3斤 = 15元。这就是我们标量乘法的特殊例子，其中5和15同属于金钱的“体量”，而3则是一个标量，这种运算体现在数轴上就是金钱的“体量”沿着数轴正方向的延伸。在有些计算机语言中，甚至字符串也允许标量乘法，例如：“哈” × 9 = “哈哈哈哈哈哈哈哈哈”。

下面我们再看一个乘法的例子：房间长4.5米宽3米，这个房间有多大？当然 4.5米 x 3米 = 13.5平方米。这是一个和上面标量乘法性质完全不同的运算：从直觉上看，前者的被乘数和乘数单位不同，后者单位相同，而前者的积的单位与被乘数单位相同，而后者则是一个新单位，而且这个单位不再是任何一维量的测度，而是二维：两个一维量的组合形成的一个二维量，这就是卡氏积的本质，而求面积则使我们对数量的认识产生飞跃，从一维长度上升到了二维的平面。因此对卡氏积最初始的理解，应当就是面积问题，这是一个和标量乘法性质完全不同的乘法：二维乘法。当然这并不是说，卡氏积就是面积问题，因为在集合论中卡氏积所对应的数学对象并不仅限于数，而且，虽然长4.5米和宽3米的房屋和长3米宽4.5米的房屋有相同的面积，但二者的“指称义”并不相同，因为根据上面的有序对公理，一般地，(a, b) ≠ (b, a) 除非 a=b。也就说，我们的数学语言面对不同的数学对象或者不同的“世界”时，这些语言元素的“语义”并不相同。

卡氏积的形式定义是有序对的集合，有序对元素a和b分属两个或者相同的集合，就是大家熟悉的

{(a,b)：a∈A 且 b∈B}

但是如何从有序对概念“逻辑推理”到卡氏积概念，这就需要另外两个概念，集合的并运算和幂运算，我们下次再说。