在漫谈的第一期中，我先介绍了近场动力学（PD）理论里的两个基本的数学概念：键和态。基于这两个概念，在第二期中我又介绍了三种本构关系，运动方程以及键的断裂准则。至此，我们就有了基本方程和判定准则。在本期中，我们将了解到求解近场动力学方程的两种数值方法：离散粒子方法和有限单元方法，以及相关的应用软件开发情况。

• 数值求解方法

1. 离散粒子方法

说到离散粒子方法，就不得不提到Silling博士及其合作者发表于2005年的一篇文章（参见如下文章标题）。

http://dx.doi.org/10.1016/j.compstruc.2004.11.026

这篇文章首次阐述了采用粒子方法离散近场动力学的运动（平衡）方程的算法过程以及时间步长选择。下面我们简要介绍文章的离散公式。（为了这三期《漫谈》中的公式表述统一，文章中的一些公式被进行了改写。）

上面的本构关系表示一个线性化的键基PD模型，具体参见上一期《近场动力学漫谈（中）：本构关系与运动方程》附录里的键基PD模型和常规态基PD模型的化简和线性化过程。如下图1所示，先将计算区域离散成如下粒子系统，再针对上面的运动方程，将位移场离散成时间步和节点上的值。

图1. 半径为δ的非局部作用圆域和离散粒子系统，粒子间间距为∆x

并且有如下三个推论需要您注意：

如下动画截图显示了粒子离散的圆形板受冲击时近场动力学模型的模拟结果。为了减少计算量，本模拟采用对称性条件，仅计算了半个圆板的结果。

采用粒子离散方法执行近场动力学模型模拟圆板受冲击的过程

2. 有限单元方法

要使用有限单元方法，您可以参考如下文章。这篇文章给出了一个“加和模型”的有限单元离散过程。所谓“加和模型”就是将经典弹性力学模型和近场动力学模型直接加和在一起。您也可以参考科学网博客中针对这篇文章的评述：《非局部连续模型的有限单元实现》。

http://dx.doi.org/10.1002/nme.3118

上面这篇文章是针对键基的PD模型。针对常规态基PD模型的有限单元离散过程，您可以参考如下我的文章。这篇文章研究了经典弹性力学和常规态基PD模型的耦合模型，并陈述了耦合模型的有限元离散过程。

http://dx.doi.org/10.1016/j.cma.2015.12.024

在本期中我们针对静态问题的键基PD模型给出有限单元方法的执行过程，它的平衡方程表示如下：

对于这种力平衡模型，您可能按如下步骤推导包含位移解的线性方程组：

从下图2中，您可以看到与第i号单元（褐色）有非局部相互作用的其他单元（黄色）。其中单元内黑色点表示单元的高斯积分点（在此是三角单元的形心点），黑色圆环是以高斯积分点为圆心、半径为δ的非局部作用邻域（近场范围），黄色单元都是其高斯积分点在作用邻域内的单元。这里需要特别说明的是，在有限单元离散近场动力学模型时，只有单元的高斯点之间具有键的连接关系。当模拟断裂时，也只考虑高斯点之间的键是否断裂。

图2. 三角形单元离散和一点的非局部作用邻域内的相关单元

不连续伽辽金单元

近场动力学模型经常被用于模拟断裂问题。然而，使用传统的有限单元离散却无法模拟断裂，因为传统的有限单元离散是一个连续的网格剖分。也就是说，相邻单元之间共享公共节点和公共边，这就阻止了单元之间分离的可能性，从而无法进行断裂模拟。2011年，美国的Max Gunzburger教授在下面这篇文章中开创性地将不连续伽辽金单元应用于近场动力学模型以求解不连续问题。这篇文章仅讨论了一维问题中应用不连续伽辽金单元执行PD模型所得解的误差。但它为使用有限单元执行PD模型模拟断裂指明了道路：如果您要用有限单元执行PD模型以模拟裂纹扩展，那么您就需要使用不连续伽辽金单元。（Max Gunzburger教授是美国数学和计算科学界响当当的人物，现为弗罗里达州立大学教授，曾任美国工业和应用数学学会主席和SIAM期刊主编）。

http://dx.doi.org/10.1016/j.cma.2010.10.014

什么是不连续伽辽金有限单元？简单地讲，不连续伽辽金有限单元就是相邻单元各自独立拥有自己的节点，但是在开发生前，他们的节点位置相互重合。如下图所示：

关于本文更详细的内容，请您参考科学网博客中的评述文章：《用于力学PD模型的连续/不连续有限单元法》。

需要指出的是：使用不连续伽辽金有限单元比传统的有限元网格增加了节点的个数。然而，相比经典连续介质力学模型，在PD模型中引入不连续伽辽金单元有其天然的优越性。因为经典连续介质力学理论包含了位移的导数，所以要求位移解的空间必须是H1空间（包含函数的导数平方可积）；而PD理论不需要包含位移的导数，所以仅要求位移解的空间是L2空间（仅包含函数本身平方可积）。不连续伽辽金单元离散在单元边界处允许位移不连续，所以单元上的形函数仅能插值出L2空间上的函数。这恰恰与PD模型是匹配的（conforming），而与经典连续介质力学模型是不匹配的。如果经典连续介质力学模型要使用不连续伽辽金单元模拟断裂问题，就需要考虑单元与单元边界处的通量约束（flux constraint），增加了计算的复杂度。

有限单元执行PD模型的模拟

我从2010年开始接触近场动力学模型，就一直使用有限单元方法执行近场动力学模型。七年来，我主要从事经典连续介质力学和近场动力学模型的耦合方法研究，并与合作导师一起提出了基于逐点能量守恒的Morphing耦合方法。该方法在执行经典连续介质力学模型时使用传统有限单元离散，而在执行近场动力学模型时使用不连续伽辽金单元离散。更多细节请您参考科学网博客里的评述文章：《自适应耦合局部/非局部模型模拟静态断裂问题的Morphing方法》

当裂纹扩展的时候，我们还提出了通过在裂尖局部自适应地修改有限单元离散为不连续伽辽金单元离散的方式，最小限度地引入近场动力学模型，从而极大的减少了计算量并成功模拟了裂纹扩展（见如下动画截图）[1]。

预裂纹三维体斜向45度角开裂

在以上脆性断裂模拟的基础上，我们还考虑了经典损伤力学模型，以损伤局部化参数作为宏观裂纹开裂的起始标志，自适应地引入近场动力学模型模拟裂纹开裂，从而成功地模拟了结构从弹性变形到损伤、再到断裂，并最终完全失效的整个生命周期（见如下动画截图）。这项研究成果去年被发表在固体力学领域的国际顶尖期刊JMPS上[2]。

两侧开口平板在上下受拉左右受剪的载荷条件下变形、损伤并断裂的过程

• 应用软件

因为我一直是自己编程求解近场动力学模型，所以对基于近场动力学模型进行模拟的应用软件了解不深入。就我目前我所了解的情况，做如下简要介绍：

1. 基于离散粒子方法的开源软件：Peridgm

Peridgm是美国Sandia国家实验室开发的一个开源程序包。它基于离散粒子方法由Parks博士和Littlewood博士等人负责开发。Peridgm目前可以执行显式动态分析、隐式动态分析和拟静态分析，内部采用强大的线性和非线性求解器，并完全兼容Cubit几何与网格生成工具以及Paraview可视化程序。

程序下载网址：https://peridigm.sandia.gov

图3. Peridgm模拟脆性圆管的爆破

除了Peridgm软件外，据我所知，Sandia基于它的分子动力学开源软件LAMMPS，还编写了一个PD扩展软件包，称为PDLAMMPS。但是我不清楚目前是否还能够下载并安装使用。

2. 基于不连续伽辽金单元方法的商用软件包：LS-DYNA®Peridynamics

这是美国LSTC公司开发的商用软件LS-DYNA中的一个扩展包。LS-DYNA是基于有限单元程序的大型模拟软件，适用于汽车、航空、建筑、制造等很多领域复杂问题的模拟。它的特点是适用于求解非线性问题和动力学问题。LS-DYNA®Peridynamics是该软件中的一个功能扩展包，是由LSTC公司的C.T. Wu博士领导的开发小组开发的。该软件包采用8节点、6节点或4节点不连续伽辽金单元执行键基近场动力学模型以模拟动态多裂纹扩展和裂纹分叉等问题。目前尚不清楚是否有已经正式发布的商用版本。更多关于LS-DYNA®Peridynamics的信息，您可以在网上搜到。例如，最近的培训课程资料（最后一部分）：

http://ftp.lstc.com/anonymous/outgoing/whu/Class/AdvFem_Meshfree_2016Class.pdf

使用该程序包的最新断裂模拟研究也已经由Wu博士等人发表 [3]，或者您也可以参考微信公众号“近场动力学PD讨论班”里的相关评述文章：《应用三维不连续伽辽金有限元法求解键基PD模型分析动态脆性失效》。

图4. LS-DYNA®Peridynamics模拟玻璃-聚碳酸酯-玻璃三层层合板受冲击

• 尾声

我通过三期的内容对近场动力学理论的要点进行了逐一的论述。这些要点包括：键与态的概念，三种本构关系与运动方程，键的断裂准则，动量和能量守恒率，数值方法（包括粒子方法和有限单元方法）以及应用软件。它们仅仅是我个人几年来对近场动力学理论学习的体会，仅供您参考。如果本文能够帮您建立起对目前国际上新兴的近场动力学理论的一点新的认识，那么我写本文的目的也就达到了。更多更详细的内容，还需要您继续阅读相关的文献材料。

最后值得一提的是，近场动力学理论是一套基于非局部相互作用思想的建模方法。现在该理论不仅限于固体力学领域的模拟研究，已经扩展到热传导、电传输、化学腐蚀扩散等其他领域的建模之中。虽然这套理论在国际科研领域已经热了起来，但是它还是一个新兴的理论体系，仍然有许多地方等待你我一起深入研究。我深信在不久的将来，近场动力学理论一定能够帮助人们进一步地解放思想，从一个新的角度重新探索我们周围的世界。到那时，再回过头来看我们今天的工作，我们现在的研究才刚刚起航！

参考文献：

[1] Yan Azdoud, Fei Han, Gilles Lubineau, The morphing method as a flexible tool for adaptive local/non-local simulation of static fracture, Computational Mechanics, 2014, 54(3), 711-722.

[2] Fei Han, Gilles Lubineau, Yan Azdoud, Adaptive coupling between damage mechanics and peridynamics: a route for objective simulation of material degradation up to complete failure, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2016, 94, 453-472.

[3] Bo Ren, C.T. Wu, E. Askari, A 3D discontinuous Galerkin finite element method with the bond-based peridynamics model for dynamic brittle failure analysis, International Journal of Impact Engineering, 2017, 99, 14-25.

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近场动力学(简称PD)理论是国际上刚兴起的基于非局部作用思想建立的一整套力学理论体系，该理论通过求解空间积分方程描述物质力学行为，避免了基于连续性假设建模和求解空间微分方程的传统宏观方法在面临不连续问题时的奇异性[1]，所以特别适用于模拟材料的损伤和断裂过程。然而，因为PD模型的数学理论较深，且新概念多用英文表述，所以很多朋友在学习时会遇到一些困难。在朋友的启发下，我想到在微信上建立此公众号，希望将研究PD理论的朋友们聚集起来，分享PD研习路上的点点滴滴，一起解决各自的难题，共同推动PD理论的发展！

[1] 黄 丹, 章 青,  乔丕忠, 沈 峰, 近场动力学方法及其应用. 力学进展, 2010. 40(4): p. 448-459.

每期文章评述的首发平台是微信公众号：近场动力学PD讨论班
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