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不动点定理(fixed-point theorem)

已有 753 次阅读 2023-11-10 01:24 |个人分类:解读哥德尔不完全性定理|系统分类:科研笔记

在数学中,函数f的不动点(fixed-point)指被这个函数映射到其自身一个点,f(x)=x


不动点定理(fixed-point theorem)指函数f在某种特定情况下,至少有一个不动点存在。


比如,连续函数 f 定义在封闭区间 [0, 1],并在[0, 1]取值。说这个函数有一个定点,就等于说它的图形(深绿色)与定义在同一区间 [0, 1] 上将 x 映射到 x 的函数的图形(浅绿色)相交。

布劳威尔不动点定理(Brouwer's fixed-point theorem)是最著名的不动点定理之一。


最简单的形式如下:


平面上:每一个从某个给定的闭圆盘射到它自身的连续函数f都有至少一个不动点。



这个定理的一个通俗解释:取两张一样大小的白纸,在上面画好垂直的坐标系以及纵横的方格。将一张纸平铺在桌面,而另外一张随意揉成一个形状(但不能撕裂),放在第一张白纸之上,不超出第一张的边界。那么第二张纸上一定有一点正好就在第一张纸的对应点的正上方。


这个断言的根据就是布劳威尔不动点定理在二维欧几里得空间(欧几里得平面)的情况,因为把纸揉皱是一个连续的变换过程。


参考文献:

https://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer_fixed-point_theorem


A 'proof' of Brouwer's fixed-point theorem using Manim

https://www.reddit.com/r/3Blue1Brown/comments/b158fn/a_proof_of_brouwers_fixedpoint_theorem_using_manim/






https://blog.sciencenet.cn/blog-2322490-1409106.html

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