在数学中，函数f的不动点（fixed-point）指被这个函数映射到其自身一个点，f(x)=x。

不动点定理（fixed-point theorem）指函数f在某种特定情况下，至少有一个不动点存在。

比如，连续函数 f 定义在封闭区间 [0, 1]，并在[0, 1]取值。说这个函数有一个定点，就等于说它的图形（深绿色）与定义在同一区间 [0, 1] 上将 x 映射到 x 的函数的图形（浅绿色）相交。

布劳威尔不动点定理（Brouwer's fixed-point theorem）是最著名的不动点定理之一。

最简单的形式如下：

平面上：每一个从某个给定的闭圆盘射到它自身的连续函数f都有至少一个不动点。

这个定理的一个通俗解释：取两张一样大小的白纸，在上面画好垂直的坐标系以及纵横的方格。将一张纸平铺在桌面，而另外一张随意揉成一个形状（但不能撕裂），放在第一张白纸之上，不超出第一张的边界。那么第二张纸上一定有一点正好就在第一张纸的对应点的正上方。

这个断言的根据就是布劳威尔不动点定理在二维欧几里得空间（欧几里得平面）的情况，因为把纸揉皱是一个连续的变换过程。

参考文献：

https://en.wikipedia.org/wiki/Brouwer_fixed-point_theorem

A 'proof' of Brouwer's fixed-point theorem using Manim

https://www.reddit.com/r/3Blue1Brown/comments/b158fn/a_proof_of_brouwers_fixedpoint_theorem_using_manim/