这是澳大利亚新南威尔士大学数学学院教授N J Wildberger对集合论严厉批评的文章：

https://web.maths.unsw.edu.au/~norman/papers/SetTheory.pdf

集合论： 你应该相信吗？

N J Wildberger

School of Maths UNSW

Sydney NSW 2052 Australia

webpages: http://web.maths.unsw.edu.au/~norman

“我抗议把无限大作为已完成的东西，这在数学中是不允许的。无限大只是一种说法，真正的含义是指某些比率无限接近的极限，而其他比率则允许不受限制地增加”。(Gauss)

“我不知道在康托尔的理论中什么占主导地位—哲学或神学，但我确信那里没有数学。” (Kronecke)

“……古典逻辑是从有限集及其子集的数学中抽象出来的……由于忘记了这个有限的起源，人们后来把这种逻辑误认为是高于所有数学的东西，并且先于所有数学，最后毫无道理地把它应用于无限集的数学。这就是[康托尔]集合理论的堕落和原罪……” (Weyl)

现代数学并不是完全有意义的，不幸的后果包括难以决定教什么和怎么教，许多论文在逻辑上有缺陷，招聘年轻人学习这一学科的挑战，以及不幸地在无关紧要的边缘徘徊。

如果数学是完全有意义的，那么教起来就会容易得多，学起来也会容易得多。使用有缺陷和含糊不清的概念，隐藏混乱和循环推理，无中生有的定理，“以后”（即永远不会）来论证，并依靠对权威的呼吁，这对年轻人没有帮助，反而让事情变得更难。

如果数学是完全有意义的，就会有更高的严谨标准，出版更少但更好的书籍和论文。这可能会使普通的研究人员更容易相信自己能做出微小但有意义的贡献；如果数学是完全有意义的，那么物理学家们就不必为量子场理论和弦理论的正确数学理论如此疯狂地奔波了；完全有意义的数学往往与现实世界平行，并与之高度相关；而不完全有意义的数学则很少能一针见血，尽管它仍然可以非常有用。

那么，逻辑上的问题究竟出在哪里？这些问题源于学术界一直拒绝认真对待该学科的基础方面，并因二十世纪全心全意和基本上不加批判地拥抱集合论而得到加强。

基础方面的大部分问题来自数学家的错误信念，即他们正确地理解了公立学校和高中数学的内容，而进一步的澄清和编纂基本上是不必要的。集合论的大部分（但不是全部）困难来自于坚持认为存在“无限集”，而数学的工作就是研究它们并使用它们。

在延续这些观念的过程中，现代数学具备了宗教的许多方面性质，它有它的基本信条—即集合论，以及它不容置疑的假设，即数学是基于“公理”的，特别是Zermelo-Fraenkel的“集合论公理”；它有它的信徒—逻辑学家，他们专门研究数学的基础，这是一个所谓的深奥和困难的学科，需要多年的奉献才能掌握。其他数学家在被外界质疑时，学会了引用官方的咒语，但对这一学科的基本方面如何在逻辑上挂起钩来却只有模糊的看法。

对年轻人的培养就像秘密社团中的培训一样—浸入邪教中，在正确理解之前，要对本科生进行标准思想的强化记忆，因此，理解往往跟随信仰，而不是相反（更健康）的方式。漫长的、往往是痛苦的研究生学徒期让学员忙于跳过许多必要的圈套，不鼓励对该学科的基础进行批判性思考，但随后逐渐屈服于兄弟会的温和接受和支持。然而，永远存在的不足、失败和被放逐的恶魔从未远离过人们的视线，这确保了大多数人一直走在这条循规蹈矩路上。

大型国际会议让研究人员聚集在一起，祝贺他们的世界观的统一性和理智性，尽管对于潜入这种活动的罕见的局外人来说，会议程序无疑是以术语、相互不理解和与外部世界无关为特点的。官方的理论是，所有的观点和意见如果包含真理，就会受到重视，而最终只有优雅和实用才能决定什么被研究。现实却不那么令人陶醉—通常的等级结构奖励效忠、服从和对理论的技术掌握，提升有权势者的利益，并阻止异议。

这里没有邪恶的意图或丑陋的阴谋—这种做法是由善意的努力、惯性和自我利益的混合体维持的。我们人类喜欢相信我们周围的人所做的事情，并愿意塑造我们的知识结构来支持那些证明我们的习惯并使我们感觉良好的假设。

关于基础的问题

如果我们从教育方面来看，数学没有完全意义的原因是很容易解释的。数学家和其他人一样，在幼儿园之前就开始学习数学，包括计数和基本形状。在整个公立和高中阶段，他们会接触到各种各样的科目和方法，在更好的学校或更好的老师那里，他们会学习数、分数、算术、点、线、三角形、 圆、小数、百分比、全等、集合、函数、代数、多项式、抛物线、椭圆、双曲线、三角函数、变化率、概率、对数、指数、四边形、面积、体积、向量，也许还有一些微积分。处理方法是不严格的，不一致的，甚至是草率的。其目的是让普通学生在掌握了一些程序后通过教材，而不是为那些可能对科学或数学职业有兴趣的人提供一个适当的逻辑框架。

在大学的第一年，学生会更多地接触到微积分和一些线性代数，也许还会加入一些离散数学。在第二或第三年的某个时候，有抱负的纯数学家的培训发生了巨大的变化。他们开始被引入严格思考和证明的概念，并逐渐意识到他们并不在智力成就的顶峰，而只是在一个非常繁重的山脚下。群论、微分方程、场、环、拓扑逻辑空间、度量理论、算子、复数分析、特殊函数、流形、希尔伯特空间、posets和lattices—所有这些都迅速堆积起来。他们学会不把数学看作是需要记忆的事实和需要掌握的算法，而是看作一个连贯的逻辑结构。作业问题越来越需要严肃思考，除了最优秀的学生外，其他学生很快就会大脑疲劳，无所适从。

你认为此时的课程有时间或倾向于回到他们在公立学校和高中所学的材料，并最终正确地组织它们吗？当我们开始对逻辑正确性进行真正的挑剔时，回过头来确保所有那些到现在为止只是以松散和轻率的方式教授的科目得到适当的严格处理不是很有意义吗？现在不正是学习什么是数、为什么算术定律会成立、直线和圆的正确定义是什么、矢量、函数、面积和其他所有内容的适当时机吗？你可能会这么想，但有两个非常好的理由可以说明为什么没有人这样做。

第一个原因是，即使是教授也大多不知道！他们也经历了类似的灌输，从来没有证明过多乘法是联立方程，也没有学习过三角函数的正确顺序！他们也经历了类似的灌输，从来没有证明过多乘法是联立的，比如说，也没有学习过三角学中题目的正确顺序。当然，他们知道如何解决小学课本中的所有问题，但这与能够纠正其中的所有逻辑缺陷，并对材料进行完整和正确的阐述是完全不同的。

现代数学家满脑子都是他们所研究的专业理论的严密逻辑关系，而对支撑整个子项目的逻辑基础却只有粗浅的了解。但最糟糕的是，他们在很大程度上没有意识到自己训练的不足之处，他们及同事们真的认为他们深刻地理解了初等数学。但几个精心挑选的问题显示，情况并非如此。问他们什么是分数，或如何正确定义一个角度，或一个多项式是否真的是一个函数，看看会出现什么样的非统一的漫谈! 问题越是简单，答案就越可能涉及大量的哲学和虚张声势。分数定义的正确方法问题对公立学校教育来说是一个特别关键的问题。

数学家们喜欢向自己保证，基础问题是由一些关于“公理”的胡言乱语来解决的（后面会详细介绍），但实际上，成功的数学需要熟悉大量的“基本”概念和基本的语言和符号惯例，这些通常是不成文的，但却是对年轻人进行分科培训的一部分。例如，可以写一整篇关于数学语句和方程中的排序和括号的隐性和显性使用的文章，编纂这种隐性语法是专业数学家并不特别感兴趣的工作。

第二个原因是，任何正确布置初等数学的尝试都会受到学生和教育者的抵制，认为这不是在前进，而是在倒退。当测量理论和残差微积分在召唤时，谁还愿意花时间去担心正确的多项式方法呢？其结果是，大量的初等数学在任何地方都没有被正确地教授。

但是，有两个基础性的课题是在本科生的早期阶段被介绍的：无限集理论和实数。从历史上看，这些都是非常有争议的话题，充满了逻辑上的困难，让数学家们纠结了几十年。现在的介绍是就事论事—“无限集是一个非有限的数学对象的集合”， “实数是有理数的Cauchy序列的一个等价类”。

或者一些类似的废话。呈现给年轻人的集合论根本没有意义，由此产生的实数方法实际上是一个笑话！你没听错，我很快就会试着解释。这里的重点是，当学生们已经被面前的所有其他材料搞得疲惫不堪时，这些逻辑上可疑的课题就被随手塞进了课程。没有时间去反思和讨论过去几代人的不确定性。只要有足够的证明，整个事情就会像他们正在努力学习的任何其他科目一样。从那时起一直到退休，数学家们都有一个繁忙的日程安排，确保很少有人能对他们学生时代的课题进行批判性研究。

无限集

我想我们可以同意，（有限）集合论是可以理解的。有许多（有限）集合的例子，我们知道如何有效地操纵它们，而且这个理论是有用的和强大的（虽然没有它应该有的那么有用和强大，但那是另外一个故事）。

那么，“无限集”呢？好吧，首先，你应该准确说出这个词的含义。好吧，如果你不说，至少应该有人说。在一个名词前面加上一个形容词，本身并不能构成一个数学概念。康托尔宣称，“无限集”是一个非有限的集。这当然是不令人满意的，康托尔无疑自己也怀疑。这就像宣布“全能精灵（Leprechaun）”是一个能看到一切的精灵。或者“不可阻挡的老鼠 ”是一只无法阻挡的老鼠。这些语法结构并不创造概念，也许只是在文学或诗歌的意义上。不清楚是否有任何集合不是有限的，就像不清楚是否有任何精灵可以看到一切，或者是否有无法阻止的老鼠。当然，在科学中，没有理由假设“无限集”的存在。宇宙中是否有无限多的夸克或电子？如果物理学家必须冒险猜测，我相信大多数人都会说： 但是，即使有无限数量的电子，假设你能得到无限数量的电子作为一个单一的“数据对象”也是不合理的。

康托尔定义的可疑性被罗素和其他人在二十世纪之交发现的“无限集理论”中的矛盾所惊人地证明。康托尔允许任何旧的“无限集”，允许你考虑“所有无限集”的“无限集”，这导致了一个自相矛盾的问题。那么“所有有限集”的“无限集”，或“所有有限群”，或者“所有与球体同构的拓扑空间”呢？这些悖论表明，除非你对’无限集’这一概念的确切含义非常特别，否则该理论就会崩溃。罗素和怀特海花了几十年时间，试图为这个问题制定一个清晰和足够全面的框架。

让我提醒你，数学理论没有崩溃的习惯。我们不会经常说：“你听说伪凸同构理论上周崩溃了吗？多么可惜啊! 也是这么好的人”。

那么，分析家们是否在尴尬中退出了康托尔的理论？只有几年时间，直到希尔伯特以他的战斗口号“没有人可以把我们从康托尔为我们创造的天堂中驱逐出去！”召集了部队。对此，维特根斯坦回应说： “如果一个人可以把它看作是数学家的天堂，为什么另一个人不能把它看作是一个笑话？ ”

现代集合论的文本是否会弯腰准确地说出什么是和什么不是无限集合？你自己看看吧，我不能说我找到了这种态度的很多证据，我也找过了。那些第一次学习’无限集理论’的学生会不会涉猎《原理》？当然不会，那对他们和他们的老师来说都太累了，而且会使他们因最终“理解了无限”而产生的那种愉快的优越感变淡。

我们被告知，反对这种批评的堡垒是拥有适当的“公理”集合! 事实证明，与几千年来最伟大的数学家的见解和最深刻的直觉完全相反，这一切都归结于你所相信的。幸运的是，我们作为优秀的现代数学家所相信的东西现在已经被编码，并深深地扎根于“Zermelo—Fraenkel公理”中。虽然在上世纪初的几十年里，人们对此有不少争论，但现在只有少数怀疑论者。我们大多参加同一个教堂，尽职尽责地重复同样的咒语，并确保我们的学生也这样做。

让我们来看看这些“公理”，这些现代数学的堡垒。在下面的内容中，X和Y是“集合”。

1. 延伸性公理： 如果X和Y有相同的元素，那么X=Y。

2. 无序对的公理： 对于任何a和b，都存在一个集合{a，b}，它正好包含a和b。

3. 子集的公理： 如果φ是一个属性（参数为p），那么对于任何X和p，都存在一个集合Y={u∈X:φ(u,p)}，它包含X中所有具有φ属性的u。

4. 联合公理： 对于任何X，存在一个集合Y=∪X，即X的所有元素的联合。

5. 幂集公理： 对于任何X，存在一个集合Y=P(X)，即X的所有子集的集合。

6. 无限公理： 存在一个无限的集合。

7. 替换公理： 如果F是一个函数，那么对于任何X，存在一个集合Y=F[X]={F(x):x∈X}。

8. 基础公理： 每一个非空集合都有一个最小元素，即不包含集合中的其他元素。

9. 选择公理： 每一个非空集的家族都有一个选择函数，即一个为每个集分配一个元素的函数。

都完全清楚了吗？根据大多数数学家的说法，这一串令人遗憾的断言是集合论和现代数学的适当基础! 难以置信!

除非你已经是一个训练有素的数学家，否则这些“公理”首先是无法理解的。也许你不同意？那么我建议做一个实验—将这份清单随机抽样给受过教育的非数学家，看看他们是否买账，或者甚至理解其中的任何内容。然而，即使对数学家来说，也应该很明显，这些陈述充满了困难。什么是性质？什么是参数？什么是函数？什么是集合族？对所有符号的含义的解释在哪里，如果它们确实有任何意义的话？在这些定理所假设的语法和逻辑惯例背后，还隐藏着多少进一步的假设？

还有公理6：有一个无限的集合！？这条公理怎么会溜到这里来？罗素批判的整个要点之一是，我们必须对“无限集”这个词的含义非常小心。我们不妨这样说： 有一个全能的小精灵！或者有一只不可阻挡的老鼠！ 

为了让你思考你是否真的理解了'公理'，请考虑一下这个集合

A={a}

正如我们所做的那样。请暂时停止阅读，只考虑这个集合。谢谢你的考虑。啊，但有人有一个问题! 是吗？你想知道什么是A？很好，我会告诉你。我不确定我是否有法律上的义务（是吗），但我还是要告诉你--a本身是一个集合，也是一个非常简单的集合，只有两个元素，叫做a1和a2。

a = {a1,a2}.

我们现在可以继续了吗？等等，有人坚持要知道：a1和a2是什么？它们也是集合，也是各有两个元素，所以说

a1 = {a11, a12 }

a2 = {a21,a22} .

而且，在你问之前，每个元素a11、a12、a21和a22本身就是一个集合，也正好有两个元素。这个模式会继续吗？假设它是，那会使A合法吗？但假设它不是，我拒绝揭示一个模式，也许是因为不存在。在现代数学中，我们被允许考虑不存在任何模式的模式。在这种情况下，A仍然存在吗？如果我引用一些适当的新“公理”，它是否存在？

a={a1,a2}。

a1 = {a11, a12 }

a2 = {a21,a22} 。

Zermelo-Fraenkel的’公理’不过是现代实践者认为的数学可能出发点的动物园的快乐开始。选择公理“有许多变种”。有“可数选择公理”，有“依赖性选择的公理”，还有“R的所有子集都是可测量的Lebesgue公理”（这与’选择公理’相矛盾）。更不用说所有与大cardinal有关的更高的可能公理了。你可以随心所欲地混合和匹配。

我做了二十多年的数学家，这些都与我所经历的课题没有任何相似之处。在我对李氏理论、超群和几何的研究中，从来没有一个点让我思考过—我应该假设这个关于数学世界的公设，还是那个公设？当然，人们一直在决定关注哪些定义，但我所研究的数学世界的性质在我看来是绝对固定的。G2要么有一个11维的不可简化表示，要么没有（事实上它没有）。我的宗教/哲学/公理立场与此毫无关系。所以我相信，把数学看作是在潜在的公理系统的海洋中模糊地游动的观点强烈地误导了这个主题的实际现实。

数学需要公理吗？

偶尔，逻辑学家会询问目前的“公理”是否需要进一步改变，或者增加。更基本的问题—数学是否需要任何公理--是不需要讨论的。这就像试图让Okineyab岛上的大祭司们考虑的不是神圣的Ompah的圣凤凰的尾巴上有十二种还是十三种颜色（这个问题很吸引人，已经写了整整几本书），而是神圣的Ompah是否存在。如果你问这个问题，你就会被冰冷的目光盯着，那么你就得去地牢了，伙计，接受一下再培训。

数学并不要求“公理”。纯粹的数学家的工作不是在天空中建造一些精致的城堡，并宣称它在一些任意选择的假设的基础上站起来。其工作是研究我们所处世界的数学现实。对于这一点，不需要任何假设。仔细观察是必要的，明确的定义是必要的，正确使用语言和逻辑是必要的。但是，在任何时候都不需要开始援引我们无法看到、指定或实现的对象或程序的存在。

目前对’公理’的依赖的困难来自于语法上的混乱，以及人们认为需要有一些（任何）方式来继续某些模糊的做法，而这些做法在历史上是分析师们喜欢做的。人们在使用“公理”一词时，往往是指定义。因此，群体理论的’公理’实际上只是定义。我们准确地说出了我们对群体的含义，仅此而已。任何地方都没有假设。在任何时候，我们都不会或不应该说，“现在我们已经定义了一个抽象的群，让我们假设它们存在”。要么我们可以通过构建一些来证明它们的存在，要么这个理论就变得空洞无物。同样地，也不需要“场论公理”或“集合论公理”，或者任何其他数学分支的“公理”，或者数学本身的“公理”！这就是“场论”！

欧几里德可能把他最初的某些陈述称为“公理”，但他心里还有别的想法。欧几里德有很多几何事实，他想尽可能地把它们组织到一个逻辑框架中。对于一个方便的表述顺序，必须做出许多决定。他正确地决定，较简单和较基本的事实应该出现在复杂和困难的事实之前。因此，他想方设法以线性方式组织事物，大多数命题仅通过逻辑推理从前面的命题开始，但某些被认为是不言而喻的初始陈述除外。对欧几里德来说，公理是一个足够明显而不需要证明的事实。这与今天使用这个词的含义完全不同。那些声称自己在追随欧几里德的杰出脚步，把数学说成是用没有意义的符号进行的游戏的形式主义者，是在歪曲情况。

我们已经礼貌地吞下了我们学生时代的现代集合理论的标准咯吱咯吱的废话—与此同时，我们同意肯定有一大堆“不可计算的实数”，即使你我永远也不会遇到一个，而且是的，毫无疑问有一个不可测量的函数，尽管没有人能够告诉我们它是什么，是的，肯定存在不可分离的希尔伯特空间，只是我们不能很好地说明它们，而且肯定有可能将一个实心单位球分解成五块，并重新排列以形成一个半径为2的实心球。

是的，好吧，“连续统”假说并不需要真的或假的，而是被允许在一些无人区徘徊，根据你所相信的东西，以一种方式或另一种方式下降。Cohen关于“连续假设”与“公理”的独立性的证明，应该是早该敲响的警钟了。在普通数学中，语句要么是真的，要么是假的，要么是没有意义的。如果你有一个精心设计的“无限集的层次结构”的理论，而你甚至不能在原则上决定在你的清单上的第一个和第二个 “无限”之间是否有任何东西，那么现在是时候承认你不再做数学了。

每当讨论到数学基础时，我们都会对Zermelo-Fraenkel“公理”口口相传，但我们是否都会使用它们呢？几乎没有。除了“选择公理”这个明显的例外，我敢说只有不到5%的数学家在他们发表的作品中明确使用过这些“公理”中的一个。一般的数学家可能甚至都记不住这些“公理”。我想我是个典型—两周后，我就会把它们退到我记忆中某个遥远的地方，大部分时间都无法回忆。

在实践中，工作中的数学家相当清楚“无限集理论”的潜伏矛盾。我们已经学会了不依靠“公理”来抑制恶魔，而是通过发展惯例和直觉，使我们似乎可以避免最明显的陷阱。每当闻到周围可能有一个有问题的’无限集'时，我们就迅速使用'类'这个术语。比如说： 一个拓扑学是一个’图谱的等价类'。当然，我们中的大多数人都不能准确地说出什么构成和什么不构成'类'，我们学会了不在圈里提出这样的问题。

还有一个有用的术语“范畴”。考虑一下“所有有限群的类别”。给定任何一个集合a，我可以创建一个单元素集合A={a}，其单元素是a。然后我可以通过定义a-a=a，将A定义为一个群。范畴理论家在给我们其他人讲课时，会不会先快速介绍一下’范畴'这个词的确切含义？听众不知道会不会感到紧张？在古老的十九世纪，他们可能会这样做，但现在那些经常参加研讨会的人已经相当习惯于想当然地接受他们觉得无法理解的抽象概念。

另一个很好的例子产生于函数的通常定义。尽管官方理论认为函数是由一个域（一个集合）和一个共域（一个集合）以及一个规则来规定的，这个规则告诉我们如何处理前者的一个元素以得到后者的一个元素，但我们知道在实际情况下，域和共域可以被免除，或者这个术语可以被更灵活的“函数”所取代，特别是在范畴论中。举个例子—当我们定义一个拓扑空间X的基本群π（X）时，我们本能地知道最好不要写成

π : Top → Group

因为机会是Top和Group不是“适当定义的无限集”。我们只是采用了对函数的日常理解，即只要说它输入什么样的对象，输出什么样的对象，以及它对输入做了什么以获得输出就足够了。不需要把所有可能的输入和输出整齐地排列在我们面前，作为两个集合。这种理解可以有效地扩展到许多更平凡的情况。你真的认为你需要把所有的自然数都放在一个集合中来定义自然数的函数f（n）=n2+1吗？当然不需要—规则本身，再加上它的输入和输出对象的种类说明就足够了。正如计算机科学家已经知道的那样。

为什么实数是个笑话

根据现状，连续统被“实数”正确地模拟了。什么是实数？让我们从一个简单的问题开始： 什么是有理数？集合理论在这里为我们提供了帮助。根据一些说法，它只不过是一个有序的整数对的等价类。因此，当我六岁的女儿使用分数2/3时，她所做的实际上是使用 "等价类

2/3 = {[2,3],[4,6], [-22,-33], [14,21], [86,129], ---}.

悲哀啊。但让我们继续下去。有理数的Cauchy序列是一个序列

λ = [r1,r2,r3,···]

其中每个ri都是一个有理数（刚才提到的那种），其特性是对于所有的ε>0，存在一个自然数N，如果n和m都大于N，则

|rn − rm| ≤ ε.

但这里有一个非常重要的问题：在现代数学中，我们没有义务真正有一个规则或算法来指定序列r1, r2, r3, - - - 。换句话说，“任意”序列是允许的，只要它们具有 Cauchy收敛特性。这就消除了具体说明你正在谈论的对象的义务。由算法产生的序列可以由这些算法指定，但是讨论一个不是由这种有限规则产生的’序列’可能意味着什么？这样的对象将包含“无限量”的信息，而在已知的宇宙中没有这样的具体例子。这是伪装成数学的玄学。

为了让你习惯Cauchy数列的现代魔力，这里有一个我刚编出来的：

μ = [2/3,2/3,2/3,2/3,2/3,2/3,···].

有谁想猜一下极限是什么？哦，你想先了解一些情况吗？最初的10亿项都是2/3。现在你想猜一下吗？不，你想要更多的信息。好吧，10亿和第一项是475。现在你想猜一下吗？不，你想要更多的信息。好吧，接下来的一万亿次都是2/3。你已经厌倦了要求更多的信息，所以你想让我一劳永逸地告诉你这个模式？哈哈! 现代数学不需要这样! 不需要有模式，在这种情况下，没有模式，因为我这么说。你对这个游戏已经厌倦了，所以你猜2/3？不错的努力，但遗憾的是你错了。实际的答案是-17。这是正确的，在第一万亿和十亿零一个术语之后，条目开始做非常疯狂的事情，我不需要向你描述，然后“最终”他们开始走向-17，但他们如何做到这一点，以什么样的速度，没有人知道。现代宗教不是很有趣吗？

{[2/3,−14,1/3,2/3,···],[4/9,4,−4/17,2458,···], [78,2/29,3,4,5/3,···], ···}.

想猜一猜这是什么真实的数字吗？你是对的! 它是5π+e。然而你知道吗？

那么现在什么是实数？它是Cauchy数列的一个等价类! 没错，不只是一个，不只是两个，而是整个等价类。我们甚至无法列出这样一个“类”的元素，因为它们中的每一个都包含“不可计数”的Cauchy序列。因此，我们当然已经吸收了“无限集理论”来理解这些陈述，而且我们仍然应该“解释”等价关系。让我们放弃这个，只提出一个有代表性的例子。这里是一个实数，我没有把有理数完整地呈现出来，从而节省了大量的篇幅：

现在你对实数的定义已经很熟悉了，也许你想知道如何用它们做算术？如何对它们进行加法和乘法运算？也许你还想检查一下，一旦你定义了这些运算，它们是否服从你想要的属性，如社会性等。好吧，我只能说—祝你好运。如果你把这些都连贯地写下来，你肯定会是第一个这样做的人。除了这种情况的丑陋和复杂之外，你还会不断地被这样的困难所困扰：在所有这些序列中，不一定要有一个模式，它们被允许完全“任意”。这意味着你无法说两个给定的实数何时相同，或涉及实数的特定算术语句何时正确。即使是像1+1=2这样的简单陈述也会让你感到惊愕，因为你必须用无休止的Cauchy 序列来表述一切，而且在缺乏指定无限序列的坚实惯例的情况下，你将与Cauchy 序列[1，1，1，—]是否真的代表1，或者只是从事物的这一端看来代表1的问题进行斗争。

也许你想参考一下你最喜欢的微积分教材中的“实数的构造”部分。看一看，看看现代数学教育中的逻辑思维是怎样的。然后，为了让你的精神真正沉沦下去，打开一本“严格”的分析课本，翻到关键部分，在那里他们解释了连续统—到底什么是实数以及如何操作它们。这就是问题的核心—现代分析所建立的基石。而在所有这些书中，你会发现摇摆不定和模棱两可，除非这个问题被完全忽略了。有些书在这方面是诚实的。另一些则巧妙地混淆了这个问题，它们允许谈论有理数的“集合”，却没有提到你实际上是如何指定它们的。正是在这一空白处，潜藏着逻辑上的困难。一组有理数本质上是一个零和一的序列，当你有一个有限的函数或计算机程序来生成它时，这样的序列就被正确地指定了。否则，“它”在一个有限的宇宙中是无法访问的。

这个描述连续统上的点的关键问题应该与可计算性的概念有密切的联系，但事实证明，根据标准的教条，可计算的实数只是“所有实数”的“测量零片”。尽管你和其他人都没能写下一个“不可计算的实数”，而且不可否认的是，它们在任何实际的科学、工程或应用数学计算中从未发挥过丝毫作用。

即使是“可计算实数”也被误解得很厉害。大多数阅读本文的数学工作者都有这样的印象： “可计算实数”是可计算的，而且它们并不完整。正如我在最近的书中提到的，这是很错误的。清楚地思考这个问题几天，你会发现可计算实数是不可计算的，而且是完整的。再多想几天，你就能看到如何在不提及“无限集”的情况下做出这些陈述，这就足以证明康托尔的证明，即并非所有无理数都是代数。当涉及到基础问题时，现代分析是在La-la land（注：虚幻的地方）。

但是自然数呢？

好吧，你说，也许你说的有点道理，但你完全谴责无限集肯定是走得太远了。毕竟，有一个无限集是我们可以绝对确定的，它是如此熟悉，如此干脆利落，无可指责。你问，所有自然数的集合N是什么？看一看吧，它就在这里，它是一个光辉的整体：

N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,···}.

嗯，也许不是全部，但我们都知道这三个小点代表什么，不是吗？所有剩下的那些数字，都挤在18和右边的括号之间!

古希腊人认为自然数不是有限的，但这并不意味着他们同意你可以把它们全部放在一起，形成一个定义明确的数学对象。一个有限集我们可以明确地描述并完全指定—我们可以列出它的所有元素，所以不可能有歧义。但问题是，我们是否可以说所有的自然数都可以集合成一个大集合？

有人会说，只要不产生逻辑上的矛盾，数学家可以做任何她喜欢的事情。但事情并不那么简单。我们是否被允许在数学中引入全能的精灵，只要他们看起来表现得很好，不引起矛盾？要创造出美丽而有用的数学，更好的方法是确保所有的基本概念从一开始就完全清晰和直接。我们有责任证明我们的概念是有意义的，而不是挑战别人去发现矛盾。

我们现在会看到，“自然数集”的概念既不清晰也不直接，而是沉浸在复杂之中。当我们离开熟悉和舒适的微观自然数领域，并开始在序列中推进，努力写下越来越大的数字时，困难就开始了。很快，以小数形式表达的数字，如

a = 23, 518, 800, 234, 444, 511, 009

变得不经济，而使用指数符号则更容易。迭代允许

我们可以写一个三个十的塔：

b = 10^1010 . 

让我们继续下去，写下这个数字

c = 10^10 ...10

}10^10^10

其中左边的指数塔一共有b个十。我的猜测是，c已经比数学或科学中曾经使用（有意义的）任何数字都要大，但我可能是错的。无论如何，我们对N的探索还为时过早，因为我们只做了5分钟。怎么样？

..10 10.

d = 10^10^ ..10}10^10^ ..10^10^ ..10}

让我们继续下去，写下这个数字，其中括号内的数字是c？请思考这个数字几分钟。这对你来说不应该是太大的负担，因为你经常把所有自然数的集合N挂在嘴边。

接下来我们可以引入e，然后是f，然后是一些合适的迭代，比如说a1，然后是b1，最后是a2，等等，等等，只受限于我们想象力的限制，以及我们手中的书写纸的数量。假设我们的想象力不是问题，还有一个空间问题，因为随着我们不断地进行下去，我们将开始耗尽内存空间来写下我们越来越大的数字。首先它们会填满一页纸，然后是一本书，然后是我们的硬盘。当然，我们可以使我们的计算机更大，我们的编码更有效，开始拆解恒星，把我们的记忆库分散到各个星系。但是……宇宙几乎肯定是有限的。最终，你和我可能已经蒸发和重新安排了所有的恒星、家具和其他生物，以寻求写下更大的数字，而现在我们开始用尽粒子来扩展我们的银河系硬盘。假设你为了科学的利益把我还原成原子，也许还有你的四肢。在某些时候，你会写下一个巨大的数字，以至于它需要宇宙中所有的粒子（除了你剩下的一些最小的数量）。我可以谦虚地建议你把这个数字称为w，以纪念你为创造它而蒸发的最后一个人吗？

现在是一个两难的问题。一旦你写下并惊叹于w的所有荣耀，你将在哪里找到w+1？从事物的这一端—工作的一端--自然数的无尽序列看起来既不自然也不无尽。那么无限集N在哪里呢？

答案是—不知道。它并不存在。这是一个方便的形而上学的虚构，它允许数学家在提出各种问题和论证时马虎了事。它允许我们回避规范的问题，用毛糙的抽象来代替具体的理解。从一开始看，似乎是一个快乐的、行为良好的序列，但从另一端看，更像是一个巨大的分形。

与a不同，数字b、c和d在自然数的动物园中是戏剧性的反常现象，因为它们可以用很少的空间写下来。它们的复杂性，或信息内容，比它们本身要小得多。大多数数字根本就不是这样的。为了强调这一点，让我们做一个粗略的计算，通过把整个宇宙当作一个巨大的硬盘，用基本粒子一排一排地编码一些巨大的数字，来约束我们可以写下的可能数字的数量。假设在一个维度上，宇宙最多只有101010米宽，也许有10102个维度（为弦理论的未来版本留出空间），最小的可能粒子尺寸是10-103米，并且有大约1010个不同的粒子，我们可以在宇宙的任何一个点上放置。因此，填满整个宇宙的粒子的可能配置的数量最多是

10^10(10 ×10^10^3 × 10^10^2 )

虽然这是一个可敬的数字，但与c相比，它就显得微不足道了。 结论： 在我们的宇宙中，绝大多数小于c的数字都不能被写下来。这些数字对我们来说是完全不可触及的，而且永远如此。但是c可以用一行字写下来。与c“接近”的数字，其表达方式与c的表达方式没有什么不同，在巨大的复杂海洋中形成了小小的“简单的岛屿”。

因此，在你达到w之前，你就会达到那些不可能有质因数的数字，因为有些因子如果存在的话，需要比w更多的空间来写下来。无论是你还是我，还是任何生活在这个宇宙中的人，都不可能对这个数字进行因式分解，因为它的大部分“质因数”几乎肯定是巨大到无法表达的，这意味着它们并不存在。

也许你相信，即使你不能写下比w大的数字，你仍然可以抽象地思考它们！这是一个形而上学的主张！这是一个形而上学的主张。如果一个大于w的数字没有任何意义，它甚至不能被写下来，那么它意味着什么呢？相信你能通过一些图像、描述性的短语和模糊的感觉，在你的脑海中“想象”出一个无所不能的精灵或一只不可阻挡的老鼠，并不意味着它们存在。通过一切手段，写剧本和诗歌，写所有这些超过w的数字，但不要想象你在做数学。二十世纪的物理学家已经学会了无视那些不能以某种形式测量或观察的“概念”，而我们数学家也应该同样持怀疑态度。

初等数学需要以正确的方式来理解，整个学科需要重建，以便从一开始就有完整的意义，而不使用任何关于无限集或程序的可疑的哲学假设。让我看看现实世界（即应用数学、物理学、化学、生物学、经济学等）中真正需要数学来解决“无限集”的一个事实吧！这就是数学！数学一直是关于，而且永远是关于有限的集合、模式和算法。所有那些涉及“无限集”的理论、争论和白日梦，都需要被改写成一个精确的有限框架，或者被归入哲学。当然，这是更多的工作，就像发展Schwartz的分布理论比谈论德尔塔函数为’一个总积分为1的函数，除了在一个点上是无限的，其他地方都是零'更多的工作。但Schwartz的澄清不可避免地导致了重要的新应用和见解。

如果在二十世纪采取了这样的方法，那么（至少）就会产生两个重要的后果。首先，数学家们现在已经就如何以正确的方式制定小学和中学数学达成了合理的共识。这对数学教育的好处是深远的。我们会有强有力的立场和合理的论据来鼓励教育者采用某些方法，避免其他方法，而学生会有一个更合理、统一和易消化的科目。

第二个好处是，我们与计算机科学的联系会比现在更紧密。如果我们要认真地理解连续体—我强烈地认为我们应该这样做--那么我们必须解决如何指定和处理确定点数的计算程序这一关键问题（即十进制扩展）。适当的算法理论的发展是无法回避的。数学失去了计算机科学这个有趣而重要的分支学科，主要是因为我们宁愿选择便利性而不是精确性，这是多么可悲啊！

但是，我们不要为错失机会而哭泣太久。相反，让我们从我们梦幻般的羽绒床中走出来，闻闻咖啡的味道，让数学变得完全有意义。