皮亚诺（Giuseppe Peano，1858－1932）是意大利数学家、逻辑学家、语言学家，毕生致力于建立数学基础和发展形式逻辑语言，提出了著名的自然数公理化系统。

一，主要著作

皮亚诺的主要著作有《算术原理：用一种新方法的说明》（1889年）、同别人合著的《数学公式汇编》（或译为《数学的陈述》），这些著作使数学家的观点发生了深刻的变化，对嗣后为重新组织数学的努力，尤其对以尼古拉·布尔巴基为笔名的法国数学学派的纲领，产生了很大影响。罗素也从中得到很大启发，推动了他关于数学原理的观点的发展。罗素和怀海德在其合著的《数学原理》中，采用了皮亚诺的部分逻辑记号。

二，皮亚诺公理

皮亚诺于1889年发表算术原理新方法提出自然数的五条公理，即皮亚诺公理（Peano axioms），建立了自然数的理论。其中，第5公理就是数学归纳法的原理：

1. 0是自然数；

2. 每一个确定的自然数a，都有一个确定的后继数a' ，a' 也是自然数；

3. 对于每个自然数b、c，b=c当且仅当b的后继数=c的后继数；

4. 0不是任何自然数的后继数；

5. 任意关于自然数的命题，如果证明：它对自然数0是真的，且假定它对自然数a为真时，可以证明对a' 也真。那么，命题对所有自然数都真。

三，皮亚诺算术

皮亚诺算术(PA)的公理:

1. ∀x (Sx≠0)

2. ∀x,y ((Sx=Sy) ⇒ x=y)

3. (φ(0) ∧ ∀x(φ(x) → φ(Sx)) ⇒∀xφ(x)

4. ∀x(x+0=x)

5. ∀x,y (x+Sy = S(x+y))

6. ∀x(x.0=0)

7. ∀x,y (x.Sy = (x.y)+x)

参考文献：

【1】https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E7%9A%AE%E4%BA%9A%E8%AF%BA%E5%85%AC%E7%90%86

【2】https://zh.wikipedia.org/zh-hans/%E6%9C%B1%E5%A1%9E%E4%BD%A9%C2%B7%E7%9A%AE%E4%BA%9E%E8%AB%BE