关于“哥德尔的不完全性定理”的讨论 - 2022/4/26 - 28 

柳渝：

@BasicRabbit 你说：

- 对我来说，哥德尔不完全性定理提出的 "哲学 "问题是，人们是否能从与自指（"我说谎"）有关的主观知识中得出客观知识（定理）。在我看来，这就是我认为的形而上学（根据亚里士多德，对作为存在的研究）的顶端。我没有答案......

换句话说，你是问："说谎者的悖论 "和形式系统的 "不可判定的命题 "之间有什么关系？

因此，我认为提出以下问题是至关重要的：
– 使形式系统中的一个命题可证明或不可证明的本质是什么？
– 哥德尔构建的命题是否为这样的问题提供了一个合理的解释？

最基本的方法应该去读哥德尔的原文， ...

BasicRabbit：

我不会这样做的。科学史确实表明，许多数学 "工具 "有数学以外的起源，一般是物理性的，但并不总是如此（就数而言，会计的起源--零和负数的发明--），而且新引入的概念有时需要很长时间才能被消化（最新的：量子物理学的重正化）。同样，几个重要定理的首次证明也是错误的（最近怀尔斯和佩雷尔曼在他们的证明被数学界接受之前对他们的副本进行了多次修改）。其他人重做证明，找到更简单、更易懂的新证明，设法尽可能地削弱假设，这意味着在我看来，最好的方法是从目前市场上最好的开始，然后回到哥德尔发表的原文，最后--最终--回到在废纸篓中发现的闲话和被擦掉的笔记

对我来说，最理想的是找到一个活着的人，他对这个问题很熟悉，并且同意与你讨论。我告诉过你，这不可能是帕特里克—他已经不在了--也不可能是我，我是不称职的（而且很长时间内对这个问题不再有热情）。

我总结一下我的立场：

1：塔尔斯基（在理论模型中对真理的定义是正确的，在各方面都尊重了PJ在《真理如何……》（第207页）中对他所接受的真理的要求：塔尔斯基的真理定义是有意义的。(第207页）：塔尔斯克的真理定义是有意义的定义。

2：“拉德里埃的定理”（théorème de Ladrière），我参照《真理如何……》第298页称之为 "定理"，对于形式为∃ x P(x)的语句是正确的，其中P是一个没有量词的算术公式（在逻辑学家的行话中，语句通常被称为Σ1）。

3：哥德尔公式G（在PA1中可证明--P代表Peano，A代表Arithmetic，1代表first order—）等同于公式Σ1的否定（用行话说G可证明等同于公式Π1）。-

4：在哥德尔（和许多其他人）的不完备性定理的证明中，真理和可证明性之存在着不对称性：哥德尔的公式G在标准模型N中是真的，当且仅当它在PA1中不可证明（而且G的不可证明性和非G的不可证明性的证明是不对称的）。

我认为这是一个坚实的基础（尽管应该由比我更有能力的人验证......），从这个基础上，你可以在理解不完全性定理方面取得进展（我是针对柳渝说的）。

柳渝："换句话说，你问："说谎者悖论 "和形式系统的 "无法证明的命题 "之间有什么关系？"

对我来说，一切有自指的东西（以 "我自己 "开头的句子，如 "我知道我自己"、"我对自己撒谎"，或包含自我（自动机、自组织、自我复制等）的东西都是指形而上学的顶端（对作为存在的存在的研究）。不完备性定理使我们能够将巴门尼德著名的 "存在是，不存在是 "解析为 "真实的是，不真实的不是 "和 "可证明的是，不可证明的不是"。根据真理比可证明性更强--在这个意义上，一切可证明的东西都是真的，而G是真的，不是可证明的--这倾向于支持PJ在 "真理如何...... "中捍卫的论文。只要我们依靠哥德尔的不完全性定理...

如果上述内容有意义，它的后果是降低了数学中证明的重要性，但不一定是贬低数学本身（被视为一种想象的技术）。

托姆："在他对理想宇宙的存在的信心中，数学家不会太担心形式程序的限制，他可以忘记不矛盾的问题。因为理念的世界无限地超越了我们的操作可能性，而我们对定理有效性的信仰的最后比率就在直觉中--根据现在已经被遗忘的词源，定理首先是一个愿景的对象--。(Apologie du logos, Hachette 1990, p.561）。