科学史-物理学编年史-81玻尔兹曼输运方程

时间：公元1872年。

路德维希·玻尔兹曼（Ludwig Edward Boltzmann，1844年2月20日—1906年9月5日），奥地利物理学家、哲学家，热力学和统计物理学的奠基人之一。作为一名物理学家，他最伟大的功绩是发展了通过原子的性质（例如，原子量，电荷量，结构等等）来解释和预测物质的物理性质（例如，粘性，热传导，扩散等等）的统计力学，并且从统计意义对热力学第二定律进行了阐释。

玻尔兹曼出生于维也纳，在维也纳和林茨接受教育，22岁便获得博士学位，之后就有好几个大学向他提供职位。他曾先后在格拉茨大学、维也纳大学、慕尼黑大学以及莱比锡大学等地任教。其中曾两度分别在格拉茨大学和维也纳大学任教。

玻尔兹曼的贡献主要在热力学和统计物理方面。1869年，他将麦克斯韦速度分布律推广到保守力场作用下的情况，得到了玻尔兹曼分布律。1872年，玻尔兹曼建立了玻尔兹曼方程（又称输运方程），用来描述气体从非平衡态到平衡态过渡的过程。1877年他又提出了著名的玻尔兹曼熵公式。

在玻尔兹曼时代，热力学理论并没有得到广泛的传播。他在使科学界接受热力学理论、尤其是热力学第二定律方面立下了汗马功劳。通常人们认为他和麦克斯韦发现了气体动力学理论，他也被公认为统计力学的奠基者。

玻尔兹曼方程是经典粒子牛顿力学运动模型，和能态跃迁的量子力学模型相糅合的产物。如果忽略所有的相干效应，经过一定的简化，可以从量子输运模型中推导出玻尔兹曼方程。玻尔兹曼方程对于载流子的导电、导热等输运过程的分析，简单的方法就是采用所谓粒子平均运动的模型来处理。这能够得到载流子的各种输运参量，但是因为忽略了许多因素，故结果不太精确。

经典的输运理论建立在玻尔兹曼传输理论的基础上，玻尔兹曼理论的基本假设包括:

(i) 电子和空穴都是微小粒子；

(ii) 粒子之间各自独立，没有相干性，通过散射互相作用；

(iii) 粒子可以用Bloch理论描述；

(iv) 散射是一种瞬态行为，没有时间和空间上的持续性；

(v) 只考虑两个粒子之间的散射，不考虑多个粒子之间的共同作用。

随着半导体器件进入纳米尺度，量子效应对器件性能的影响越来越重要，载流子的输运进入了量子输运的领域，这同时体现在空间和时间两个方面。一方面，位于费米能量的电子的德布罗易波长与器件的尺寸相比拟，电子的波动性更加明显；另一方面，电子在沟道中的输运时间动量和能量的弛豫时间相当，使得描述载流子散射的费米黄金定则的适用性受到局限。因此，对纳米尺度半导体器件，玻尔兹曼方程的适用性受到局限，载流子输运需要建立在量子力学理论框架上。

直到2010年，波尔兹曼方程的准确解才在数学上被证明是良好的。这意味着，如果对服从波尔兹曼方程的系统施加一个微扰，此系统最终将回到平衡状态，而不是发散到无穷，或表现出其他的行为。然而，这种存在性证明是无助于我们在现实问题中求解该等式的。 事实上，这个结论只告诉我们某种特定条件下的解是否存在，而不是如何找到他们。在实践中，数值计算方法被用于寻找各种形式的波尔兹曼方程的近似解，应用范围从稀薄气流中的高超音速空气动力学，到等离子体的流动中都可以见到。

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