幂律成因新探与幂律分布的新推导

美国归侨冯向军博士，2017年8月20日写于美丽家乡

（本文重要更新和修订业已作完成)

【摘要】幂律分布【1】广泛存在于物理学、地球与行星科学、计算机科学、生物学、生态学、人口统计学与社会科学、经济与金融学等众多领域中,且表现形式多种多样. 在自然界与日常生活中,包括地震规模大小的分布、月球表面上月坑直径的分布、行星间碎片大小的分布 、太阳耀斑强度的分布 、计算机文件大小的分布 、战争规模的分布 、人类语言中单词频率的分布 、大多数国家姓氏的分布 、科学家撰写的论文数的分布、论文被引用的次数的分布、网页被点击次数的分布 、书籍及唱片的销售册数或张数的分布、每类生物中物种数的分布、甚至电影所获得的奥斯卡奖项数的分布等,都是典型的幂律分布。尽管关于幂律成因有种种学说，但是本人根据冯向军一般化知觉模型对几乎所有流行的信息测度的统一【2】而创关于幂律成因的一家之言：一切主观上的感觉量和客观上的信息量都是对客观刺激量及其变化的反应的测度。客观信息量之源和主观感觉量之源都是客观刺激量及其变化。客观信息量和主观感觉量与客观刺激量之间的关系服从同一个一般模型。这个一般模型就是冯向军一般化知觉模型【2】。当客观信息量的变化deltaS与刺激量ST及其变化量deltaST之间服从如下幂律关系：

deltaS = -(ST)^q-2deltaST    （1-1）  

或

-客观信息量的变化deltaS / 刺激量的变化deltaST =  刺激量的幂律(ST)^q-2    (1-2)

并且以概率p为刺激而以必然事件的概率p=1为门槛刺激量（在门槛刺激量下客观信息量为零）时，作为客观信息量的具有概率p的单个事件的Tsallis信息量就形成了：

S = 具有概率p的单个事件的Tsallis信息量 = 1/（q-1）（1 - p^q-1）        (1-3）

作为概率分布p1，p2，...,pn的平均客观信息量的的平均Tsallis信息量就是著名的Tsallis广义熵：

Tsallis广义熵 = 1/（q-1）(1 - p₁^q -p₂^q -...- p_n^q)    (1-4)

幂律的成因是：幂律是因为在系统约束条件下作为概率分布p1，p2，...,pn的平均客观信息量的Tsallis广义熵必须最大的缘故而形成的。本文在此幂律成因理论的基础上，用发生概率和Tsallis广义熵同时最大原理推导出了标准幂律。

【用发生概率和Tsallis广义熵同时最大原理推导标准幂律】

对于平衡态标准幂律分布pi=f(xi)=axi^-b，b > 0，i=1，2，...，n，同时存在自然约束条件、自洽约束条件和系统约束条件：

p1 + p2 +...+ pn = 1    (1-5)(自然约束条件)

p1/f(x1) + p2/f(x2) + ...+ pn/f(xn) = 常数 = n    (1-6)(自洽约束条件)

p1x1 + p2x2 +...+ pnxn = 常量    (1-7)(系统约束条件)

因为：

log(P) + S = log(p1) + log(p2) +...+ log(pn) +

+ 1/(q-1)(1 - p1^q -p2^q -...- pn^q )（目标函数）

可构造拉格朗日算子

L = log(p1) + log(p2) +...+ log(pn) +

+  1/(q-1)(1 - p1^q -p2^q -...- pn^q ) +

+  C1(p1 + p2 +...+ pn - 1)

+  C2(p1/f(x1) + p2/f(x2) +...+ pn/f(xn) - C3)

+ C4(p1x1 + p2x2 +...+ pnxn - C5)

对于拉格朗日算子L求一阶偏导数dL/dpi(i=1，2，...,n)并令之为零。有：

dL/dpi =  1 /pi -q/(q-1)pi^q-1 + C1  + C2/f(xi) + C4xi= 0，

i = 1，2，...，n。

当C1 = 0, C2 = -1，a = (C4*(q-1)/q)^1/(q-1)，b = 1/(1 - q)时，有：

pi = f(xi) = axi^-b    （1-8）    

又因为b > 0，所以q < 1。

但是当q > 0时拉格朗日算子L的二阶偏导数矩阵为一主对角线上元素恒负而其余元素全为零的负定对称矩阵。因此，当 0 < q < 1时，令拉格朗日算子L一阶偏导数为零的上述标准幂律分布pi=f(xi)=axi^-b也必定是令拉格朗日算子L或约束条件下的目标函数发生概率的对数 + Tsallis广义熵取得最大值或极大值的概率分布。这种标准幂律分布pi=f(xi)=axi^-b符合发生概率和Tsallis广义熵同时最大原理。

【1】百度百科，幂律分布。https://baike.baidu.com/item/%E5%B9%82%E5%BE%8B%E5%88%86%E5%B8%83/4281937?fr=aladdin

【2】冯向军，冯向军一般化知觉模型及其对几乎所有的信息测度的统一，科学网，2017年6月30日。http://blog.sciencenet.cn/blog-1968-1063880.html