关于广义系统发生概率的系统性研究

美国归侨冯向军博士，2017年6月13日写于美丽家乡

 在《关于决定性事件的概率论》中，发生概率具有特殊重要的地位。本文将对发生概率作出一系列数理研究。

 【定义】假设广义系统G=（p1，p2，...，pn)，所谓发生概率就是与广义系统G有关的某个事件得以发生的概率。发生概率根据具体不同情况，有不同的具体含义和表达式。一般而言发生概率是指广义系统G本身得以发生的概率P。

 【最大概率公理】凡所发生的，都是在所有可能发生的相关事件中发生概率最大的。发生概率不是最大的，都不可能发生。

 【定理一】广义系统G本身得以发生的概率P等于各概率的几何平均值的n次方。

 证明：各概率的几何平均值 =（p1p2...pn）^(1/n），而发生概率P就是广义系统G在所有与概率分布p1，p2，...，pn相对应的两两相互垂直的广义方向上同时发生的概率。P=p1p2...pn。所以

P=各概率的几何平均值的n次方

证毕。

 【定理二】对于二维广义系统G =（p1，p2)，其发生概率P与平均概率之间存在如下确定的数学关系：

发生概率P = (1-平均概率)/2

 证明：发生概率P=p1p2，而平均概率=p1p1+p2p2=p1^2+p2^2。因为概率归一，所以p1+p2=1。

（1-平均概率）= (p1+p2)^2-p1^2-p2^2=2p1p2。所以有

发生概率P=p1p2=(1-平均概率)/2。

证毕。

 【定理三】对于n维广义系统G =（p1，p2，...，pn)，其发生概率P满足：

0<= P <=(1/n)^n

当任一概率pi=0(i=1，2，...，n中某个值）时，P取得最小值0。当且仅当概率分布p1，p2，...，pn成为平等遍历各广义方向的均匀分布时，P取得最大值(1/n)^n。

 证明：当任一概率pi=0(i=1，2，...，n中某个值）时，P=p1p2...pn=0,P取得最小值0。又依据几何平均值和算术平均值的关系不等式，

P=p1p2...pn<=((p1+p2+...+pn)/n)^n=(1/n)^n

当且仅当概率分布p1，p2，...，pn成为平等遍历各广义方向的均匀分布时，P取得最大值(1/n)^n。

证毕。

【用发生概率极大来求各类常见概率分布】

 1. 均匀分布

在无任何非自然约束条件下，发生概率的对数所对应的拉格朗日算子为

L = log(p1)+log(p2)+...+log(pn) + C1(p1+p2+...+pn-1)

对L求关于pi的一阶偏导数dL/dpi并令之为零（i=1，2，...，n),有

dL/dpi = 1/pi + C1=0

p1=p2...=pn=-1/C1

但是 p1 + p2 + ...+ pn = 1

所以

p1=p2=...=pn=1/n,而C1=-n。

又由于拉格朗日算子的二阶偏导数矩阵是负定的对角线上元素为-n^2而其余元素都为0的对称矩阵，因此令一阶偏导数为零的分布就是可以确保拉格朗日算子在当前约束条件下取极大值的概率分布。因此为使拉格朗日算子或约束条件下的发生概率（随其对数单调增长）极大，概率分布必须成平等遍历各广义方向的均匀分布。须指出的是因为当前约束条件中无任何非自然约束条件，所以发生概率的极大值也就是一切约束条件下，发生概率所能达到的最大值。

2. 幂律分布

在广义系统概率分布所对应的变量的a次方(这其中常数a是正数或a>0)的统计平均值不变的约束条件下，发生概率的对数所对应的拉格朗日算子为

L = log(p1)+log(p2)+...+log(pn)+C1(p1+p2+...+pn-1)+C2(p1x1^a +p2x2^a+...+pnxn^a)

对L求关于pi的一阶偏导数dL/dpi并令之为零（i=1，2，...，n),有

dL/dpi=1/pi+C1+C2xi^a=0

pi=-1/(C1+C2xi^a)

(i=1，2，...，n)

不失一般性令C1=0,就得到幂律分布

pi=-1/C2xi^（-a） (i=1,2...n)

又由于拉格朗日算子的二阶偏导数矩阵是负定的对角线上元素<0,而其余元素都为0的对称矩阵，因此令一阶偏导数为零的分布就是可以确保拉格朗日算子在当前约束条件下取极大值的概率分布。因此为使拉格朗日算子或约束条件下的发生概率（随其对数单调增长）极大，概率分布必须成平等遍历各广义方向的幂律分布。

3. 负指数分布

在广义系统概率分布所对应的变量的指数函数的统计平均值不变的约束条件下，发生概率的对数所对应的拉格朗日算子为

L = log(p1)+log(p2)+...+log(pn)+C1(p1+p2+...+pn-1)+C2(p1exp(C3x1) +p2exp(C3x2)+...+pnexp(C3xn)-C4)

对L求关于pi的一阶偏导数dL/dpi并令之为零（i=1，2，...，n),有

L/dpi=1/pi+C1+C2exp(C3xi)=0

pi=-1/(C1+C2exp(C3xi))(i=1，2，...，n)

不失一般性令C1=0,C3>0,就得到负指数分布。

pi=-1/C2exp(-C3xi) (i=1，2，...，n)

又由于拉格朗日算子的二阶偏导数矩阵是负定的对角线上元素<0,而其余元素都为0的对称矩阵，因此令一阶偏导数为零的分布就是可以确保拉格朗日算子在当前约束条件下取极大值的概率分布。因此为使拉格朗日算子或约束条件下的发生概率（随其对数单调增长）极大，概率分布必须成平等遍历各广义方向的负指数分布。