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[打听，物理，数学] 解决奇异点（奇异性）的现有数学、物理学方法，都有哪些？

已有 85 次阅读 2025-12-6 16:07 |个人分类:资料与科普|系统分类:科普集锦

用清晰的思想代替盲目的计算

Replacing blind calculations by clear ideas.

—— 狄利克雷（Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet）

[打听，物理，数学] 解决奇异点（奇异性）的现有数学、物理学方法，都有哪些？

一、奇异性的含义

1.1 数学上的奇异性

函数里“未定义”的点，“导数不存在”，等表现异常的情况。

无穷大（分母为 0）是常见的奇异点、奇异性、奇异。

1.2 物理学学上的奇异性

与物理量的发散性密切相关。就是出现了无穷大之类。

二、解决奇异的现有方法

2.1 物理学里的“重整化 renormalization”

“将可观测量用可观测量来表示”的过程。

2.2 物理学里的坐标奇异性

该奇异性可以通过“坐标变换”被移去。

2.3 数学上通过“ε→0”绕过奇异性

将原来的量，加上另一个变量 ε。得到“正常”的结果之后，再取极限“ε→0”以得到“合理”的结果。

2.4 一些“近似”的方法

如，岭回归（ridge regression），又称脊回归；吉洪诺夫正则化（Tikhonov regularization）。

三、打听：解决奇异点的现有数学、物理学方法，还有哪些？

参考资料：

[1] 2023-03-18，重整化/renormalization/杨李林，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=145285&Type=bkzyb&SubID=105134

量子场论和统计力学中用于处理计算过程中出现的无穷大发散的一套方法。

从操作上来看，重整化的过程是“将可观测量用可观测量来表示”的过程。也就是说，首先将理论中出现的参数用一些物理可观测量来表示，然后再用这些参数去计算新的物理可观测量。

量子场论中的紫外发散和重整化

在量子场论中进行微扰计算时，需要对中间态(虚粒子)进行求和。由于中间态的数量为无限大(特别是虚粒子的能量可以任意高)，这一求和往往会给出发散的结果。这类发散跟高能(高频)虚粒子有关，因而它们通常被称为紫外发散。重整化就是移除这些紫外发散从而得出物理上有意义的有限结果的过程。

[2] 2024-10-09，重整化群renormalization group/杨李林，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=588109&Type=bkzyb&SubID=105134

在量子场论和统计力学中，用来描述物理现象随观察尺度变化的一套系统的数学工具。

在不同的尺度上观察同一个物理体系，往往会看到不同的现象。一个形象的比喻是用不同放大倍数的显微镜去观察同一个物体。随着放大倍数变小(观察的尺度变大)，物体的细节逐渐变得模糊，而物理的整体信息则逐渐显现出来。这样一个“粗粒化”的过程可以用数学语言描述得更为准确，即重整化群。

[3] 2022-12-23，史瓦西解/Schwarzschild solution/蔡荣根，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=59623&Type=bkzyb&SubID=62043

可以证明，任何球对称的真空爱因斯坦引力场方程的解总是可以表述为上述史瓦西解的形式。这一结论被称为伯克霍夫定理。r = r_S 是一个坐标奇异性，该奇异性可以通过坐标变换被移去；而 r = 0 是一个本征奇异点，无法通过坐标变换将其移去。r = r_S 的奇异性直到20世纪60年代中期才真正弄明白其意义。事实上，它表示一个黑洞的视界面。r = r_S 表示视界半径。该视界面是一个单向膜，物质从黑洞外部可以通过单向膜进入黑洞，但黑洞内的物质无法通过该单向膜跑到黑洞外。

[4] 2024-12-04，奇性定理/singularity theorem/梁灿彬，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=226978&Type=bkzyb&SubID=62041

奇性概念与物理量的发散性密切相关，在广义相对论诞生之前早已存在。例如，静止点电荷的场强万在点电荷所在处(r = 0)发散，物理学家就说静电场在该点呈现奇性，也说该点是静电场的奇点。

虽然奇性定理的证明在数学上是严密的，但在物理上只局限于经典广义相对论的范畴，请注意经典一词在近代物理学中早已成为“非量子”的同义语。爱因斯坦广义相对论虽然在时空观以及识透引力本质方面是具有革命性的，但也有非常不革命之处，就是一点“量子味”也没有，所以被称为经典广义相对论。人们相信必须对它“量子化”，最终目标是要创立一种全新的“量子引力论”。站在这个高度来看，与其说奇性定理证明了时空奇性的不可避免性，不如说它证明了经典广义相对论在极为靠近奇点时的不适用性。

[5] 科普中国，2021-12-31，重整化

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=294429

重整化方法，通常包含两种：相加性重整化和相乘性重整化。相加性重整化认为，对费曼图进行积分时出现的无穷大可以通过在拉氏量里加减一些新的项予以消除。比如电子自能图出现的无穷大可以通过在拉氏量中减去一项予以消除。后者是说，积分的无穷大可以通过将拉氏量的一些项乘以一些重整化常数予以消除。两种方法实质上是等价的。由于积分的无穷大可能在微扰计算的每一阶都可能出现，因此在每一阶都需要进行重正化。

直接从无穷大的出现来看，无穷大出现于内动量积分的积分限。量子场论将理论中出现的基本粒子看作点粒子，没有大小，于是任何内动量积分应到积到无穷大。于是人们猜想，量子场论这些奇怪的无穷大，不过是因为我们还没有看见基本粒子的大小而作了不正确的近似。认为基本粒子有一定的大小，那么势必得考虑它有什么结构。认为基本粒子还由更基本的粒子组成似乎是其中一个途径。但是纯粹的理论家们，更愿意在实验还没能观测到的地方就开始他们的大胆猜测。一些人的猜测是，基本粒子可能有一定的大小，但是不会再像夸克组成核子那样简单地由更小的粒子组成，而是本身就是一条弦。这就是现在的弦论。当然，弦论受人们期待，不仅在于它没有无穷大问题，还因为它有希望能将引力量子化。

[6] 科普中国，2021-12-31，重整化群

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=294508

重整化群是一个在不同长度标度下考察物理系统变化的数学工具。标度上的变化称为“标度变换”。重整化群与“标度不变性”和“共形不变性”的关系较为紧密。共形不变性包含了标度变换，它们都与自相似有关。在重整化理论中，系统在某一个标度上自相似于一个更小的标度，但描述它们组成的参量值不相同。系统的组成可以是原子，基本粒子，自旋等。系统的变量是以系统组成之间的相互作用来描述。

紫外发散

紫外发散是指在量子场论计算中，当积分涉及极高能量或极短距离（即动量趋于无穷）时出现的无穷大问题。这源于点粒子假设和连续时空模型的局限性。紫外发散可通过重整化程序处理，若理论所有发散均可消除，则称为“可重整理论”。

连续场论

连续场论（Continuum Field Theory）是指将时空视为连续而非离散的场论模型，区别于格点场论（如晶格QCD）。在这种理论中，场定义在连续的四维时空上，其动力学由拉格朗日密度通过作用量原理导出。连续场论便于应用对称性和微分几何方法，但也容易出现紫外发散问题，因此需要重整化技术。大多数标准模型中的理论（如QED、QCD）都是在连续场论框架下构建的。

[7] 科普中国，2021-12-31，岭回归

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=331222

[8] 科普中国，2021-12-31，岭估计

https://www.kepuchina.cn/article/articleinfo?business_type=100&classify=0&ar_id=291908

[9] 广义线性模型（3）岭回归、Lasso回归与弹性网络，2024-08-09 16:20，知乎

https://zhuanlan.zhihu.com/p/713668169

[10] 岭回归，2018-04-30 19:12，知乎

https://zhuanlan.zhihu.com/p/36284886

[11] 岭回归，知乎

https://www.zhihu.com/topic/25754683/hot?utm_id=0

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[1] 2024-3-29 22:29，[推荐，重要，资源] Keith Conrad 副教授汇集的 11 种“Gaussian integral 高斯积分”方法