[推荐，重要，资源] Keith Conrad 副教授汇集的 11 种“Gaussian integral 高斯积分”方法

高斯积分： Gaussian integral

正态分布： normal distribution

坐标系： coordinate system

直角坐标系，笛卡尔坐标系： Cartesian coordinate

极坐标系： polar coordinates

        University of Connecticut

COLLEGE OF LIBERAL ARTS AND SCIENCES

Department of Mathematics

图1  Keith Conrad 副教授

https://math.media.uconn.edu/wp-content/uploads/sites/3655/2018/07/KeithConrad.jpg

https://math.uconn.edu/person/keith-conrad/

https://math.uconn.edu/regular-faculty/

图2  Keith Conrad 副教授

裁剪自：https://old.mccme.ru//dubna//2012/courses/keith.jpg

https://old.mccme.ru//dubna//2016/courses/kconrad.html

   “Gaussian integral 高斯积分”方法，至少有 11 种方法：

   THE GAUSSIAN INTEGRAL

   https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/analysis/gaussianintegral.pdf

   https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/

感谢 黄河宁 老师推荐该资源！

黄河宁 回复 杨正瓴 ： 

   找到一篇证明高斯分布密度函数的积分=1的论文，其中描述了11种证明方法，其中一种是采用换成“极坐标”的方法，其它10 种都是在直角坐标系下完成的。“极坐标”的方法是将一维积分变成二重积分，这种“升维”的方法挺巧妙的，但是比较难理解。文章的链接是：https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/analysis/gaussianintegral.pdf

   另外：在“知乎”等平台发表的文章中仅看到“极坐标”的证明方法。

2024-3-23 06:531 楼（回复楼主）

https://blog.sciencenet.cn/blog-3427112-1426367.html

黄河宁 老师：http://blog.sciencenet.cn/u/heninghuang

https://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=3427112

参考资料：

[1] Keith Conrad, COLLEGE OF LIBERAL ARTS AND SCIENCES, Department of Mathematics, University of Connecticut

https://math.uconn.edu/person/keith-conrad/

[2] Keith Conrad

https://kconrad.math.uconn.edu/

[3] Expository papers, Keith Conrad

https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/

   These were written up for various reasons: course handouts, notes to accompany a talk for a (mathematically) general audience, or for some other purpose that I have since forgotten. If you find typographical or other errors in these files, or have comments, please let me know. Files that are revised will be reposted without any indication that they have been changed (sorry).

[4] The Gaussian integral, Keith Conrad

https://kconrad.math.uconn.edu/blurbs/analysis/gaussianintegral.pdf

[5] Probability integral. Encyclopedia of Mathematics.

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Probability_integral

[6] Confluent hypergeometric function. Encyclopedia of Mathematics.

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Confluent_hypergeometric_function

[7] Normal distribution. Encyclopedia of Mathematics.

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Probability_integral

[8] 2023-05-06，坐标系/coordinate system/李兴良，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=82635&Type=bkzyb&SubID=76730

   描述空间点的位置的度量系统。

   更广义的坐标系叫作曲线坐标系，在该坐标系下，坐标线是曲线，由坐标线扫描空间产生曲线。曲线坐标系和笛卡尔坐标系之间在空间上任意一点事存在一对一的局地映射关系的。球坐标系和极坐标系军事广义曲线坐标系的特例。

[9] 2023-08-18，坐标系/coordinate system/陈维桓，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=227173&Type=bkzyb&SubID=149669

   用以确定数或数组与基本几何对象（常常是点）之间的对应关系的参考系。

   最常见的是仿射坐标系。

   在平面上常用的还有极坐标系。

   放射坐标系、直角坐标系等都由在高位的推广。

   需要指出的是，坐标系是表达几何对象的一种手段，它的选取是人为的。通过坐标变换可以使某种几何对象的复杂的方程化为较简单的方程。

[10] Coordinates. Encyclopedia of Mathematics. [DB/OL]

https://encyclopediaofmath.org/wiki/Coordinates  

[11] 2024-03-01，正态分布/normal distribution/严士健，中国大百科全书，第三版网络版[DB/OL]

https://www.zgbk.com/ecph/words?SiteID=1&ID=231925&Type=bkzyb&SubID=59833

相关链接：

[1] 2010-09-27，[讨论] “直角坐标系”和“极坐标系”的差别

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-367547.html

[2] 2021-08-28，[数学与物理] 一元二次方程、圆锥曲线、正态分布

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1301802.html

[3] 2024-03-11，[请教] “狭义相对性原理”、“光速不变原理”的最权威、最主流表述

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1424918.html

[4] 2015-08-25，物理学“狭义相对性原理”的准确表述

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-915813.html

[5] 2022-09-29，统一场：爱因斯坦是“超级冤大头”吗？

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1357360.html

[6] 2024-03-20，[打听] 闵可夫斯基 Minkowski “在发展相对论的年代里死掉，真是太遗憾了！”的出处

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1426149.html

[7] 2023-12-16，[讨论] 狭隘的“存在即被感知, esse est percipi, to be is to be perceived”

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1414107.html  

[8] 2021-07-23，[阅读笔记] 均匀分布随机数之和

https://wap.sciencenet.cn/blog-107667-1296695.html

[9] 2021-08-03，[求证] 生成指定相关系数为ρ的两个正态分布随机数

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1298177.html

[10] 2021-07-27，[苦啊！] 到底为什么“正态分布随机数不能被预报？”

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1297235.html

[11] 2021-07-25，[阅读笔记] 神奇的正态分布与中心极限定理

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1296916.html

[12] 2021-07-22，[重大困惑] 为什么正态分布随机数不能“被”预测

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1296529.html

[13] 2020-03-26，现实中常见的概率分布

https://blog.sciencenet.cn/blog-107667-1225390.html

感谢您的指教！

感谢您指正以上任何错误！

感谢您提供更多的相关资料！