博文
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重修微积分8——积分
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- 一元非负函数 $f(x)$ 从 a 到 b 的定积分，可以很直观地看成是这函数与 x 轴中 区间所夹的面积。在几何上，牛顿很直观地将 分割成细小的区间 $\Delta x$ ，以此为宽度的小长方块来填充或覆盖逼近这个面积， $\sum _i f(x_i)\Delta x$ ，当 $\Delta x$ 趋于零时它趋于这曲线所围的面积 ...
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重修微积分7——测度
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- 计量是数学的肇始。无论是称重量，量尺寸，度面积，计体积，结果都是从 0 到无穷大的一个数。计算时多将整体划分成比较规范的部分，分别测量累加而成。不因测量的方法不同而异。所以计量必须具备几点：它是非负的数量，空无为 0 ，划分后计量之和等于总体，不因测量方法而变。在无限可分世界里任何的计量，就必须把 ...
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重修微积分6——微分
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- 芝诺“飞矢不动”的悖论说：飞行的箭，每个时刻都占据了一个确定的位置，这意味着它不会同时存在其他的位置，箭矢的位置固定，所以它在这时刻是静止的。依此推理，飞行的箭在任何时刻都是静止的，所以运动在逻辑上是不可能的。 对于这个悖论，有不同的解答。黑格尔认为运动就是一对矛盾，每个时刻飞矢是既在这个位置又 ...
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重修微积分5——线性
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- 数学的空间是集合上赋有某些数学性质的论域。距离空间赋予集合中点的远近概念，让我们可以很直观地想象无穷空间中的收敛、极限和连续。微分、积分和求极限的计算都是线性的，线性运算依赖于，所在空间的点有着对线性运算封闭的代数结构。微积分中大部分概念，可以在有拓扑结构和线性结构的点集空间中理解和推广。所以我们 ...
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重修微积分4——距离
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- 上一篇从很抽象的角度，介绍了能够支持收敛极限的数学空间。用拓扑空间的定义和例子，从高处俯瞰你学过的初等微积分，把散落的知识，用概念间的联系组织起来，让你看到这些基本概念构筑成一个概括的，无穷空间模糊的图像。 学习没有捷径，唯常习练才能走通。旁人传的只是心法体会。如果没有过去学的微积分知识作为基础 ...
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重修微积分3——拓扑
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- 上一篇探讨了实数收敛的概念，用无穷级数来确定一个数。很容易把它扩展到无穷的函数序列求极限的问题。在初等微积分里，这是对函数变量的每个值逐点来考察，对每个固定的变量值，这无穷序列对应着一个函数值的数列，如果所有点对应的数列都收敛，那就认为这无穷函数序列收敛，它的极限函数在每个点的函数值是相应数列的极 ...
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重修微积分2——收敛
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- 无穷序列可以用来表示一种趋向。其思想仍然与归纳法一样，企图用已知来推测未知。这里是用有穷的序列项来推测无穷之处的结果。只不过数学归纳法，只能在有穷的世界里漫行，这里需要一个假设，才能用逻辑跨过边界。 大致地说，无穷序列作为数学的模型，在这无穷过程中，当后来的项越来越相像，如果这无穷过程指向一个实 ...
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重修微积分1——无穷
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- 这个科普系列是给学过微积分及更深入分析课程的人，觉得读书做题考试都还行，但直观和定义隔了一条河，提到严谨只觉得烦，希望能理解现代分析，又能像物理那样想象的同学。这里介绍无穷、拓扑、空间、测度、泛函和算子等现代分析的概念，让你从高处来看风景。 我学过几次微积分。最初是在高中，了解了导数是变化率，积 ...
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再谈“意想不到的老虎”
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- 我在 《占卜与推理》 里介绍了“意想不到的老虎”悖论，谈到对于这类问题逻辑推理得不出答案，用博弈的方法可以有一个最优的混合策略解，以此来说明解决具体问题的政治技巧。这篇文章给喜欢追根究底的人一个深入的博弈技术上解释。 “意想不到的老虎”，我在中学的时候读过，一直不得要领，直到近些年读了些书以后 ...
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自我指涉（8）——成魔成圣一念间
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- 在集合论和语言研究中发现了自我指涉悖论时，数学家们如临大敌，制定规则来阻止它。为什么却可以在定理证明中使用它？ 先考察对比罗素悖论和康托尔定理。康托尔用自我指涉的悖论证明了集合论基石性的定理。罗素模仿康托尔定理证明的技巧，用几乎相同的逻辑，构造出罗素悖论，动摇了数学的基础。关于罗素悖论和康托尔定 ...
