上一篇探讨了实数收敛的概念，用无穷级数来确定一个数。很容易把它扩展到无穷的函数序列求极限的问题。在初等微积分里，这是对函数变量的每个值逐点来考察，对每个固定的变量值，这无穷序列对应着一个函数值的数列，如果所有点对应的数列都收敛，那就认为这无穷函数序列收敛，它的极限函数在每个点的函数值是相应数列的极限值。这样函数序列的极限称为逐点收敛的。这个方法被牛顿引入后，广泛地应用，它虽然可行，但在微积分进一步研究时又遇到种种麻烦，于是又附加了许多条件，如“一致连续”，“绝对可积”等等，最后弄得微积分繁杂不堪。能不能把整个函数看成一个数学空间里的一个点，把这些条件都看成空间里的性质，从一个统一的角度来研究收敛极限的问题？这便是这一篇要介绍的概念。

现代的数学建立在比实数更加抽象的集合论基础上，应用于更广泛的空间。要将定义在实数上一元函数微积分的本质说清楚，推广到多元函数，函数逼近，泛函，随机过程，乃至各种抽象数学结构的集合上，我们要了解集合元素间联系的结构，这样才可能描述变动个体的走向，空间的性质，进而谈及趋近、收敛和极限。

微积分是基于无穷逼近极限的数学。收敛描述的是变动差别越来越小，直至微不可察的数列表现。收敛极限的存在，取决于实数的完备性。所以无穷逼近过程的含义和结果，依赖于它所在数学空间的性质。传统微积分是建立在实数空间$\mathbb{R}$的性质上。这些实数性质是人们在习以为常的计算经验中总结“发现”出来，又用一些更简单基本的原理来证明的。

在现代数学之前，数学一直被认为是研究真理的学问，直到百多年前，哲人们还都认为不但如此，而且是绝对的真理。现在看来，这些真理也许不过是：习惯成了自然的经验在逻辑上自洽的表现。几千年实践认知形成有穷数学的直观与那时的理论吻合无间。无穷则无法验证，除了凌空而来的假定和逻辑自洽之外无所凭借，一切概念和引为依据的原理都需要精确的定义引入，一切的争执最终也只能根据这些定义和假设，用逻辑作出判决。直觉、经验、试验和公认之事，对数学都不足为凭。数学的价值在于有用，在虚构的空间里，以严谨的逻辑铸造出一把犀利的思想宝刀，当你用对了，无数的实践难题可以迎刃而解。

要想自如地在在抽象的无穷空间中行走，你需要正确的直观想象。前面两篇只是个导引，让你意识到必须纠正过去的直觉，才能放开心怀接纳无穷空间里的真实。在“无穷”篇里数学归纳法的例子，证明了在有限情况都成立的论断，在无穷时未必成立。要走出有限的误区，才能走出局限。在“收敛”篇里0.999…=1的分析，说明了极限的含义。这是微积分数学模型的最基本假设，无穷过程达到彼岸的立足点。所有收敛的极限都是依相同的原理，将差异的不等式在极限处变成了等式。除非你曾经震惊思考改变过，如果初读前面这两个例子，没有经历过困惑，思考到终于理解了，你大约还没有走出有穷世界的藩篱。建议你回去走通了再来，否则学过的微积分知识只是别人说的，不是自己会的，此后三篇让你构筑无穷空间想象的介绍，就可能格格难下不能吸收，无缘看见彼岸。

直觉是模糊的联想，并非精确可靠。别人说的风景和你所想的也许不是同一个地方。只有踏在共同之处才是真实的一样。想象必须依附于证实过的判断作为立足点，只有在坚实的桩脚附近延伸，才靠近真实，过度延伸的浮想只是梦呓。可靠的直觉来自大量被证实过的事例，它们编织成了图像，越多的事例，才有越清晰的直觉。在现实有穷的世界，这些事例来自日积月累的学习和实践，判决正误唯有实验。在抽象无穷的空间，可靠的事例来自符合定义的例子和严格证明过的判断，在这里逻辑是唯一的判据。你必须记忆概念的定义，消化例子，纠正限于有穷世界的直觉，才会形成在无穷空间里的正确直观。

这一篇黑体字强调的概念，如开集、闭集、邻域、收敛、稠集、连续等等，你可能已经认识，不过在初等微积分学的是在实数上的定义，这儿是从抽象集合的高处俯视。这篇把点集拓扑的基本概念串起来介绍，有足够的信息让你可以依想象，走通从定义到例子的逻辑。希望你从过去的认知起步，以这里的定义来消除局限，用例子来校正偏差，在走通的过程中重建图像。花费时间逐个概念走过，你将会开始有看清无穷空间景象的基础。

好吧，抽象！讨论问题的空间一切属性都需要定义。忘掉实数、无穷、收敛、极限种种课堂灌给我们前人发现的真理，从简单干净的抽象集合开始。上一篇说，无穷序列作为数学模型来描述收敛的观念，序列中的项以及极限之间的“相像”性质，决定了收敛和极限的含义。好的。对集合中的两个元素，比如说是两个人，你能从其一了解另一吗？不能。因为元素只是集合中抽象的个体，没有它们间关系的信息。如果说知道它们同在某一个子集里，好比说知道两人同是一族，你就能知道，他们比不在这子集里的外族人有某些更相像。在这里用子集表达其中的元素具有某些共同的属性，这样的子集称之为开集，它们的并和交满足某些封闭性。集合上有了这样的一组开集，便能以此判断元素间属性是否相近。可以用来判别相邻性的这组开集，称为集合上的拓扑，它们组成了讨论无穷逼近问题的数学空间。

考虑集合X上的一个子集族τ，其元素是X的子集，如果它们任意多的并，及有限个的交都属于τ，空集和X也属于τ，那么τ中元素称为开集，τ称为X上的拓扑（Topology），组合（X，τ）称为拓扑空间，在简略τ不致混淆时，也可直接称X为拓扑空间。

在任何拓扑，空集和X都是开集，只具有这两个开集的拓扑，称为平凡拓扑。取X上的一组子集，包括空集和X本身，定义它们为开集，进而将它们任意多的并，及有限的交，都视为这空间的开集，则生成了一个拓扑τ。给几个实例来帮助想象。

例3.1：定义实数上的开区间为开集，在它们间进行任意多的并和有限个交运算，依定义这生成了实数上的拓扑。通常实数空间指的就是以此为拓扑的空间。

例3.2：在闭区间[a,b]上所有连续函数的集合C[a,b]，对任意的$f\in C[a,b],\;\;\delta> 0$，定义集合 $\{ g \in C[a,b]\; |\; \max_{a\leq t \leq b} |g(t)-f(t)|<\delta\}$ 为开集，它们任意多的并和有限个交，生成了C[a,b]空间上的一个拓扑。

例3.3：集合X={a,b}，定义空集Φ，单点集{a}和X为开集，它们构成X上的一个拓扑。

例3.4：将X上所有子集都定义为开集的拓扑，称为离散拓扑。它也可以由定义任何单点集都为开集来生成的。

拓扑空间（X，τ）中集合X称为空间，它的子集简称为集合，X的元素称为点，点之间的相邻关系，由τ来确定。两个点，如果同在拓扑空间的一个开集里，认为它们是相邻，分属两个不相交的开集，认为是分离；包含了点x的开集，称为x的开邻域，包住x开邻域的集合称为x的邻域（neighborhood），寓意是与这点某些属性相近的点都在这里。

那么，怎么用拓扑来描述趋近状态呢？

对于拓扑空间X的一个点x和序列（x_n），如果对于x的每个邻域U，都有对应着它的一个正数N，当n > N时，都有$x_n \in  U$，则称（x_n）收敛于x。考虑到点的邻域含义，这意味着，对这空间中拓扑所考虑的属性上，这序列后面的点终将与点x是密不可分的。

对于拓扑空间X中一个点x和集合A，如果x的每个邻域都包含有除了x外，还有A中其他的点，则x称为A的一个聚点（cluster point）。例如：在实数空间中，0和1是开区间（0，1）的聚点；任何一个无理数都是有理数集的聚点。

显然，序列收敛到非序列中的点x，是序列所在集合的聚点；但集合A的聚点，未必有集合中的序列收敛于它。如果集合中的点都有一组可数的邻域，这点所有邻域都包含这组的某些成员，这样的拓扑空间称为第一可数的（first countable）。第一可数空间集合中的聚点都有集合中的序列收敛于它。在分析应用中的聚点都是用序列来逼近的，所以应用中的拓扑空间都是第一可数的，它也称为可数性的第一公理。

开集的补集称为闭集；包住集合A的所有闭集的交，是包住A的最小闭集，叫做A的闭包。闭包也是包括了A和它所有聚点的集合。实数是有理数的闭包。闭区间[a.b]是开区间(a,b)的闭包，闭区间[1, 3]是集合[1, 2)U(2, 3)的闭包。

对拓扑空间X的子集A，如果任何开集都包含有A中的点，则称A是X中的稠集，意味着X中的点的任何邻域，都含有A中的点，即可以用A中的点来逼近。如果X有个稠集是可数的，则称这空间是可分的，X中的点都有这稠集中的一个序列收敛于它。有理数是可数的，它是实数上的稠集，所以实数空间是可分的，每个实数都有一个有理数的数列收敛于它。所有实数都是有理数集合的聚点，实数空间的拓扑是第一可数的。

同一个集合X上可以定义不同的拓扑。平凡拓扑是最粗的拓扑，离散拓扑是最细的。开集设定了一个点的邻域，它意味着里面其它点与这点相类。邻域之外就有某些的“不相类”，所以空间的拓扑区分的能力也很重要。如果对两个点，总有一个点开邻域不含另一，称为T₀空间；它们各自都有不包含对方的开邻域，是T₁空间；如果两个点能有分属不相交的开邻域，叫T₂空间，这也称Hausdorff空间；T₃，T₄则是说明点与闭集的区分能力。后者包括前者。过粗的拓扑，让空间中的点含糊难分。过细的拓扑也孤立难同，则难以找到点邻域里的其它点来推测它的性质。应用中大多数具有丰富性质的拓扑，既不会太粗也不会太细。现代分析是建立在点集拓扑研究的基础上。这样可以从简单拓扑结构开始，层层加细，从不断丰富拓扑空间性质的研究中，探究各种特性的本质。

对于微小的变动过程，如果集合上的函数，对应的值的变化也是微小的，即$x$趋向$a$时，$f(x)$趋向$f(a)$，这是一种叫做“连续”的对应关系。用拓扑的语言来描述函数$f(\cdot)$在点$a$处连续，它的定义是函数值$f(a)$的每个邻域，都包含了$a$一个邻域的映像（即这邻域所有函数值的集合）。说函数$f(\cdot)$是连续的，指它对定义域中所有的点都是连续的。

从拓扑空间X到Y的连续函数意味着，Y的每个开集U，它的原像f^-1(U)在X中也是开集；闭集V的原像f^-1(V)也是闭集。连续函数把它对应的两个空间的拓扑结构连系起来了。

两个拓扑空间之间如果有个一一满映射F，F和F^-1都是连续的，则称F是同胚映射，这两个拓扑空间称为是同胚的（Homeomorphism）。想象拓扑空间X就像一个有弹性的几何体，同胚映射F就好比将这几何体拉伸压缩变形，形成另外一个几何体拓扑空间Y。连续函数F在这变形中，让所有点的相邻关系都没变。如果F的映射不是满的，则说F将X嵌入（embedding）到Y空间中。传统的拓扑学，用同胚映射和同伦映射对空间进行几何分类和代数特征的研究。分析应用上，将研究的拓扑空间同胚映射或嵌入到熟悉的空间中，可以比较直观地了解它的性质。

上面所说的是在集合的基础上，抽象地定义具有收敛概念的数学空间。这里尽量用简洁清晰的语言表达概念的定义，如果仍有未解之处，建议查看点集拓扑的教科书来加深理解。你的努力，将给了你一双能够看到无穷空间的眼睛。

现在检验你对抽象定义的理解力，请思考下面的概念题。

对拓扑空间X中的集合M，X的所有开集与M的交集定义为M中的开集，构成M的拓扑，称M为X的拓扑子空间。M是个拓扑空间，它继承了X的拓扑。例如实数$\mathbb{R}$是3维欧几里德空间$\mathbb{R}^3$的拓扑子空间。

开区间（0，1）继承实数空间的拓扑，问在这拓扑子空间里（0，1）是闭集吗？它还是开集吗？在这里的有界数列都收敛吗？这子空间是完备的吗？这拓扑子空间与实数空间是同胚的吗？

（待续）

【扩展阅读】

1. 维基百科，拓扑空间http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%8B%93%E6%89%91%E7%A9%BA%E9%97%B4

2. Stephen Willard，General Topology， Addison-Wesley（1970）

3. Renzo’s Math 490，Introduction to Topology  http://www.math.colostate.edu/~renzo/teaching/Topology10/Notes.pdf