计量是数学的肇始。无论是称重量，量尺寸，度面积，计体积，结果都是从0到无穷大的一个数。计算时多将整体划分成比较规范的部分，分别测量累加而成。不因测量的方法不同而异。所以计量必须具备几点：它是非负的数量，空无为0，划分后计量之和等于总体，不因测量方法而变。在无限可分世界里任何的计量，就必须把这性质推广到无穷的集合。抽象集合中的测度m，就是将集合的子集映射到$[0,\infty]$区间的函数，空集对应着0，测度有着可数可加性，即：

$m(\phi )=0,\;\;\; m(\bigcup_{n=1}^\infty  E_n)=\sum _{n=1}^{\infty} m(E_n),\;\; E_i \cap E_j =\phi\;\;\forall i\neq j $

在不同坐标系下表示集合的点，测度值要保持对坐标变换的不变性。注意，无穷大这里也可以是个测度的量值，这让它适用于一些无穷的情况，比如说没有尽头的直线长度，无边无际的平面面积和无限空间的体积等等。例如，集合的势也是一个测度，满足0的对应和可数可加性，对于有限集，这测度是集合中元素的数量，对无穷集，这测度是无穷大。人们的计数其实是从这个测度开始的。

显然对于同一个集合，可以定义不同含义的测度。学习数学的抽象，这是要适应的思想方法。

这个系列介绍过收敛、拓扑、距离、范数、内积、测度等数学的概念，在集合的基础上定义它们的性质。在同一个基础集合上，往往有多种具体的结构和映射符合这些定义的性质，它们的抽象都属同一概念。这情形与物理等自然科学很不同，让有些学者觉得不习惯和不确定。在思想方法上，自然科学本质是归纳的，研究的都是具体一类的事物，从中抽象发现一些共有的性质，形成了概念。虽然有时用抽象的语言来定义，也因此逻辑推理，但隐在定义之后的具体一类事物，始终是最终的裁判，当推理的结论逸出接受的范围，就放弃原有的概念代之以新的解读。而数学的本质是演绎，虽然许多概念的形成来自归纳，但不同定义的概念在逻辑上必须是一致的，等价的，或是由论域的局限或推广。数学研究的是由这些共同性质定义下的概念，在演绎下的共同表现，不论概念所指的具体对象的类别有多大的不同，所得的结论从具体对象来看会如何不可思议。就抽象所聚焦的概念而言，它们都是一样的，拥有共同推理而得的性质。在数学最高的权威是逻辑而不是事实。所以要构造数学概念的直观图像，必须习惯用多种不同类别的具体对象（在数理逻辑上称之为模型）来想象抽象的概念，了解不同模型的局限，而不要被它所左右。自然科学关心物质世界里的真。数学关心的是思维世界里的真。只有确信思维中逻辑推理的结论是真实可靠的，才能利用数学概念作为工具，来了解、表达和推测物质世界里的真实。

让我们从测度的定义出发，看当逻辑与事实冲突时，数学家和自然科学家的不同处理。

实践经验告诉我们，将一个物体分割成几部分，分别测量它们的重量和体积，它们之和一定会等于整体。这已经成了无可置疑的真理。很不幸，经验不能代替逻辑，因为经验只涉及到有穷的世界，当我们把物体看成无穷可分时，无穷集合的任意分割，并非都能如此。在定义了一些集合测度后的空间里，并非所有的集合都可以参与保有这样性质的测度。

巴拿赫-塔斯基（Banach Tarski）举了一个例子。大致说来，他用分别沿X，Y两轴左转或右转某个特殊的角度（例如arccos(1/3)）的操作，形成包含4种旋转a,a^-1,b,b^-1的运算序列。这些有限步运算序列生成了一个具有无穷个元素的群H。在序列中刨去相邻反向相消的旋转，可以证明每个序列与群H中的元素一一对应。这个群里的元素可以按生成时，第一个的旋转操作分别为a,a^-1,b,b^-1而分成不相交的4组及单位元e组。实心球中的质点，在这群每个元素对应的旋转操作序列作用下，形成一条旋转轨迹质点相连的链。利用选择公理，在每个链条都可以选出一个点来代表，这些点的集合记为M，球中所有的质点都在M中某点所在的轨迹链条中。这些轨迹链条依对应的4个群组也分成4组，将这些轨迹链条的第一个质点取出放在对应于群的e组，其余链条中的质点对应到起始旋转分别为a,a^-1,b,b^-1的群组，它们是互不相交的5个组，可以看成球被分割成5堆。现在将对应a^-1组那堆整体做a的旋转，经过这旋转后的这堆包含有对应着所有a^-1,b,b^-1组及部分e组的质点，对b^-1组那堆整体做b的旋转，得到类似的结果，不难想象将它们与剩下的a,b和e组可以组装成没有缝隙与原来一样的两个球，详见【2】。

这个例子很有名，称为“分球悖论”或者“巴拿赫-塔斯基定理”，因为进行分类时，用了选择公理（AC）在无穷集合中挑选，上世纪二十年代，大家是用来反对AC的。经过多年争论后，人们发现这里的证明在逻辑上无懈可击，选择公理在数学基础上很重要，是必须保护的不可或缺。而在物质世界中球不可能由无限的质点组成，所以这模型并不与现实冲突。想要继续应用抽象的测度理论，那么只能归结为人们在无穷的世界里的直觉错了。

为什么是不可思议？因为人们觉得将一个球切碎分割成5堆，组成球的元素分成了5个集合，球的重量和体积是这5个集合的总和，一堆元素刚性旋转不会改变重量和体积，即使装配成的球没有缝隙，它们也不该有两个球的重量和体积。

重量和体积都是测度，与经验的冲突在于这种分割不满足可加性。但如果这种怪异分割而成的5个集合是不可测度的，那么就没有理由说什么可加性了。一个球和两个球之间就失去了这个有限测度量的联系。至于一个球和两个球的元素数量，因为它们都是无穷的集合，在有限的世界对岸，集合论早就告诉我们，无穷集合和两倍的集合，它们的元素是可以一一对应的。这例子告诉我们，测度有时只能定义在空间的一部分集合上，这些集合称为可测集，它们包括空集，对可数个并，及补集运算封闭，称为σ代数。在这σ代数之外的集合，对测度没有定义，称为不可测集。

在实数空间，我们定义开区间（a, b）的测度为|b-a|，以开区间生成的σ代数称为波雷尔（Borel）集。在实数空间以开区间测度和定义延拓出来的测度称为长度。在n维欧几里德空间，可以同样地从定义矩形区间的面积延拓出2维的测度，以及n维的体积，这样定义的测度称为勒贝格测度。在不致混淆时，简称为测度，或长度、面积、体积。

波雷尔集包含着$\mathbb{R}^n$空间通常拓扑下的所有空集、全体、开集、闭集、单点、以及它们的各种交和并。在理论上，不可测的集合虽然也有无穷多，你可以想象的却很难，因为它们不存在你的经验中，它必须用逻辑依赖选择公理来构造。

柯尔莫哥洛夫将公理化概率论定义在概率空间上，用样本的集合代表事件，它们构成空间里的σ代数，概率则是对集合取值在0到1之间的测度。

测度为0的集合叫做零测集，它在应用中扮演了重要的角色，比如说你突然有个天才的发现，只是它适用的情况在参数中是零测集，如果参数值是随机分布的，那你几乎都没有用武之地。在积分里，如果引起麻烦的地方，比如说无界、间断处等等是零测集，那也可以忽略它们。

$\mathbb{R}^n$空间中的一个点的集合，可以包含在任意小的区间里，它的勒贝格测度小于任何正数，所以它只能为0。从测度的定义可知，可数个零测集的并集仍然是零测集，所以有理数集合是实数空间$\mathbb{R}$上的零测集。

有个古老的疑问：“点没有长度，为什么它们组成线段却有了长度？”有人回答，因为这里的点有无穷多，0乘无穷大可以是非零的数。上面例子说明，这理由对可数多的无穷大不成立。是不是因为线段有不可数的点所致？下面例子说明，在直线上不可数点集的总长度也可能是零。

康托集是这样构造的，记C₀=[0,1]，将这区间三等分，取走中间一块（1/3，2/3），留下的部分C₁=[0,1/3]U[2/3,1]；分别在留下的区间[0,1/3]及[2/3,1]中，再次取走各区间中间1/3的那块，得到C₂；如此重覆得到C_n，n=0,1,2,…；它们的极限C称为康托集。C是不可数的，因为它的点必须选自无穷序列C_n中左边或右边部分，即2的可数幂。C_n测度是（2/3）ⁿ,当n趋向无穷大时，它趋向0，所以C的勒贝格测度是0.

当一个区间无穷地缩小到一个点，区间的长度也无限地趋向0，区间的长度和覆盖线段的区间数总在有限世界这一边，没有尺寸的点和无穷多个点是在实无穷的彼岸，我们不能指望用点和点数来解答线段长度的问题。不同维数空间中几何体的测量也是如此。看个例子。

英国人很早在测量海岸线长度时，发现所用的尺度越短，海岸线的长度越长，那么到底什么是曲线的长度？二维空间的曲线，显然不能用一维区间来覆盖，而二维的勒贝格测度（面积）是零。实践中用尺子丈量曲线，微积分里用折线来逼近曲线长度，都是用二维空间的园来覆盖曲线，然后计算这些覆盖直径的和。对于不同覆盖所计算的下确界，称为曲线的长度。测量所用的尺子越短，计算出来的长度越长，这反映了近似逼近的过程。这个单调递增的数列极限可能是有限的量，也可能是无穷大。

在n维欧几里德空间，任何集合A都可以被一族可数的开集覆盖，这族开覆盖测度和的下确界称为集合A的外测度，记为m*(A)。外测度对所有集合都有定义，保持有测度的非负性，对集合包含关系的单调性，和次可数可加性。当集合A是可测时，外测度等于它的测度。

$ m^*(A) \ge 0, \; m^*(\phi)=0,\;\;\; A\subset B \Rightarrow m^*(A)\le m^*(B), $

$ m^*( \bigcup _{n=1}^\infty  E_n) \le \sum _{n=1}^\infty m^*(E_n),\;\; E_i\cap E_j = \phi\;\;\forall i\neq j $

将开集的测度定义为集合中两点距离的上确界，我们就由此定义了曲线的长度。在有界的二维区域里的曲线长度有没有可能是无穷大？当然有。下面是一个分形曲线的例子。

Koch曲线是这样构造的。对单位线段，中间1/3用等边三角形的两边来代替，得到四条边的曲线k=1，对这四条边做同样的替换，得到k=2曲线，如此无限重复这个替代过程，它趋向Koch曲线。（见图，图像抄自网络）

可以把这个k序列看作测量尺度变小的过程，计算不同k时计算的曲线长度L(K)=(4/3)^K，所以Koch曲线的长度是无穷大。

对于欧几里德空间$\mathbb{R}^n$中的几何体，集合A的Hausdorff测度H^s(A)定义如下：

$H_d^s(A)=\inf \left\{\sum_{i=1}^\infty |O_i|^s \mid \bigcup_{i=1}^\infty O_i \supset A, \;\; |O_i| \le d\right \}$，$H^s(A)=\lim_{d\rightarrow 0}H_d^s(A)$

式中的下确界inf是对所有可能的开覆盖O_i集合族来取的。其中集合的直径为集合中两点距离的上确界 $|O|=\sup \{\|x-y\| \mid x,y \in O \}$，同时规定|O|⁰=1。

H^s(A)定义在$\mathbb{R}^n$的Borel集上，不难验证它满足可数可加性，所以是个带参数s的测度。当s=n时，H^s(A)是$\mathbb{R}^n$的n维勒贝格测度（精确地说只差一个与n有关的倍因子，因为Hausdorff测量的尺子是球，勒贝格是方块）。

在$\mathbb{R}^n$空间，将几何体A线性放大k倍，其集合记为$kA =\{kx \; | \; x\in A\}$，则有 $H^s(kA)=k^sH^s(A)$，这与k维几何体的线性放大后，长度、面积和体积比例关系是一致的。注意到对于给定的集合A，Hausdorff测度H^s(A)，随着s从n+1开始减小，其数值从0，到了一个临界点后，突然跳到无穷大，我们把这个s的临界值，称为几何体的维数，或者Hausdorff维数。当它是自然数时，这与我们日常中的经验是一致的，但有时它不是一个整数。

作为一个应用的例子，现在我们审视$\mathbb{R}^n$空间里曲线的长度，凡是能够用积分算出有限值长度的，无论在平面或在三维空间，用Hausdorff测度可以证明都是一维的曲线。Koch曲线按照s=1来计算是无穷大，所以它可能是更高的维数。分形物体具有自相似结构，注意到如果将Koch曲线线性放大3倍，可以得到4份的原来曲线，根据上述s维几何体的线性放大与Hausdorff测度的倍数关系，可以算出s=ln4/ln3=1.26186…，即Koch曲线是1.26186…维。前面例子中的康托集，线性放大3倍可以得到2份原来的康托集，所以它的维数是s=ln2/ln3=0.63093…，是分数维的。只有在几何体所在的维度里的测度，才可能是一个正实数值。

如果你好奇，$\mathbb{R}^n$空间里一个点的维数是多少？建议你用Hausdorff测度公式验算一下，以加深理解。只有s=0时，单点的Hausdorff测度是1，k个点和可数无穷个点，测度是k和无穷大，而它们在s>0时都是零测集。不可数的点集，在s=1时的测度，既可能为0，如康托集；也可能是正数，如有界区间；也可能是无穷大，如整条直线；还可能没有定义，如不可测集。这也许能给予古老的点与线段长度关系问题，更多一点的认识。

（待续）

【扩展阅读】

1. 维基百科，测度http://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B5%8B%E5%BA%A6

2. Wikipedia，Banach–Tarskiparadox http://en.wikipedia.org/wiki/Banach%E2%80%93Tarski_paradox

3. Wikipedia，Hausdorffmeasure http://en.wikipedia.org/wiki/Hausdorff_measure

4. 维基百科，维塔利集合http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%BB%B4%E5%A1%94%E5%88%A9%E9%9B%86%E5%90%88