实变函数，也叫做实分析，也戏称十遍函数，它始于1901年Lebesgue的博士论文《积分,长度与面积》，这个博士论文就是Lebesgue考虑实际生活中怎么量面积体积建立的数学模型，提炼出的抽象数学表达，也可以叫做测度论。更多的介绍这段历史见Lebesgue积分的产生及其影响by Jean Pierre Kahane（范爱华教授译），特别的，这篇文章提到了Lebesgue1926年在哥本哈根的一次演讲中，介绍商人数钱形象的例子,这个例子是说Lebesgue积分Riemann积分的区别。

   我在这里举René Schilling在实分析教材Measures, Integrals and Martingales第1章, 提到对测度可数可加性的一个形象的例子（也就是古代中国数学家刘徽割圆法计算圆的例子，以前看到这个例子是利用极限计算圆周率）

在Levin的Markov Chains and Mixing Times书中，给出了两个概率测度全变差和两个概率测度之差的L1范数的关系

这样的1/2的关系可以用下图形象的表示

一个Hilbert介绍可数性的著名例子，见 世界上最大的旅馆——希尔伯特旅馆。

还有形象的解释康托定理的证明的短文康托定理与理发师悖论_文兰.pdf 。

在管理学中还有无限猴子定理哲学道理的短文 从_无限猴子定理_谈企业管理_常浩.pdf，这是 Borel–Cantelli引理的一个例子。

   在此之前数学家都是和牛顿、黎曼等人的微积分打交道，经过几十年后人的发展形成实变函数。

   十遍函数是现代数学的基础，也是数学考博的必考课程。十遍函数披上概率论的外衣后，在现代统计的大样本理论中也常常使用。就像那些高中不认真花时间学数学的人觉得高考数学很难一样。中学数学是进入微积分的门槛。实变函数是进入现代数学做研究的门槛，研究生博士阶段经常用到，当了大学老师之后教课也重复几遍了，这加起来估计老师也学了至少十遍了。
   本科觉得实变难学，那时因为学的时间太少。一般人都是上课学一遍，期末复习学一遍，学不好很正常。

聪明的人学一两遍就搞定（我身边就有这样的人），笨的人得学十遍总可以学好。

   如果大学毕业不读研，实变函数是完全没有用的。就像学了高中数学，不上大学学微积分，一样中学数学也几乎没有用。一般人生活用小学数学就足够了。
   如果没有现代数学在二十世纪的发展，我们平时所玩的电脑、上的网络、听的mp3、用的手机都不可能存在。当然，一般的普通大众是没必要了结这些艰深抽象的东西，但是它们的存在和发展却是必需的，总要有一些人去研究这些。所以在选拔人才的时候需要先让大家学习这些数学课，然后再选出厉害的继续研究这些数学。
   数学是从具体到抽象，再抽象的过程。从自然数到集合，从集合到群，从群到拓扑，从拓扑到流形。从点到线，从线到面积，从面积到积分，从积分到实变函数和泛函分析。长的人脑能想到的东西也就这点了。只要你有时间，努力去学，学很多遍，都能看懂，必竟数学家也是人，人脑是肉长的。数学家们拥有的天赋是他们的脑袋能快速深刻理解这些概念，并能够基于这些做出开创性的工作。

推荐阅读：

对实变函数的几点认识.pdf

附录：我与刘老师的对话