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为了集齐小浣熊干脆面108将卡,得吃多少袋干脆面? 精选

已有 26670 次阅读 2016-8-10 14:56 |系统分类:科研笔记

   今天看到果壳网的文章为了集齐108将,你得吃多少袋干脆面? 感慨万千,我当年也是集将的一员。下面是果壳网写的易懂的估算方法。

   假设你已经收集了n 张卡片,还有108-n张没有的卡片。那么,下次拆开干脆面,拿到一张新卡片的概率就是(108-n)/108,为了拿到一张新卡片平均就需要108/(108-n)袋干脆面。因此,集齐全部108张卡片需要的干脆面的平均袋数E(T)就是

108/108 + 108/107 + 108/106 + … + 108/2 + 108/1

= 108(1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/108)=568.5

   上式若用调和级数求和,一个近似值是108ln108≈506。


   也就是说,为了集齐 108 张卡片,平均需要买500多袋干脆面。而在实际情况,这个数字似乎比大家想象的可能要小得多。而当年统一公司有个规定,收集其108张水浒卡,可以换1000元。看来,生产商不得不想办法让108张卡片出现的几率不那么均等呢。或者说有最多有50%的人想集全卡片,记得我小学时能集全的人一个班也就一两个土豪,这比例是远远低于50%。而且我记得当年有几张是很难收集到的,这使得购买成本大大提高。假设当年一包方便面是1元,平均要花500元收集全套卡券。假设107张是可以正常收集,人人都想不停的购买直到集全,全部收集完也大概需要500元,然后剩下1张需要再买500包干脆面获得。我们可以设置这张卡片比正常卡片难得5倍或者更多倍去达到这个效果。而实际情况是某几张卡片设有圈套很难收集,真是无商不奸。当年我们真是图样图森破。在1999-2000年的时候,我还是小学生,那时买小浣熊干脆面风靡一时。为了集齐108将,大家拼命的买干脆面,甚至有的同学买了丢面只留卡,有的熊孩子还一箱一箱的买,这可花了不少家长的钱。

    每包小浣熊干脆面里装有n=108张《水浒传》人物卡券之一,在公平及大样本生产的条件下,购买干脆面取卡片近似等价于在108张卡卷中有放回的不断抽取。其实,这个问题在概率论历史上有一个名字,叫做赠券收集问题:

赠券收集问题是概率论中的著名题目,其目的在解答以下问题:

假设有n种赠券,每种赠券获取概率相同,而且赠券亦无限供应。若取赠券T张,能集齐n种赠券的概率多少?

计算得出,设 是欧拉常数,平均来说需要


.operatorname{E}(T)  = n .cdot H_n = n .log n + .gamma n + .frac1{2} + o(1), . 
.text{as}  . n .to .infty,

(粗略算为nlogn)次才能集齐n种赠券——这就是赠券收集问题的时间复杂度。(严格的证明可见Coupon collector's problem https://en.wikipedia.org/wiki/Coupon_collector%27s_problem  )。

   在离散概率中,这是最为经典的问题之一。早在1950年,威廉费勒(William Feller,Hilbert的学生)的经典教材《概率论及其应用》(Probability Theory and Its Applications)中就有过介绍。此书上还说:“Polya treats a slightly more general problem with different methods. There exists a huge literature treatingvariants of the coupon collector's problem.”,这可以追溯到1930年大数学家Polya写的论文“”

Eine Wahrscheinlichkeitsaufgabe in der Kundenwerbung.pdf (为拉票的概率任务)


Pólya, G. (1930). Eine wahrscheinlichkeitsaufgabe in der kundenwerbung. ZAMM-Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik, 10(1), 96-97.

   后来在钟开莱(Kai Lai Chung)70年代写的教材《初等概率论》(Elementary Probability Theory)中也有提到。 我以前在孔夫子旧书网买过费勒50版的书,如下第一张图。有网友提示,从第二张图看出还是北京大学图书馆藏印。这是注销了的书,我这是我3年前巧合在孔夫子旧书网买到的。(注意第1张图的右边页,利用几何分布的等待时间,取r=N得到了NlogN这个公式):


下面是70年代Feller的书第三版djvu英文版本和pdf中文版本。

An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 1, Feller.zip

概率论及其应用(第1卷).(美国)William Feller.pdf

相应的内容较第一版有改动,注意下面关于Polya的注。


相关网媒体报道:

小事 · 水浒卡骗了我们二十年”

这,可能是当年中国传播范围最广的一次收集运动

统一集团的经典营销案例!20年前,它让全国中小学生日夜疯狂!



http://blog.sciencenet.cn/blog-752541-995651.html

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