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你真的懂分形吗?--历史上的第一个分形集 精选

已有 5960 次阅读 2008-11-2 18:19 |个人分类:数学常识|系统分类:科普集锦

       什么叫分形集?通俗点说就是“病态”集,我们见到的最“正常”的集合是线段、圆等,这些图形都可以用很好的函数来表达,所以用微积分就足可以对付它们了。然而,自然界也经常犯毛病,尽弄出些稀奇古怪的东东来折磨人,我们在处理一些问题时总希望别出现怪异现象,即使出现,也希望出现的怪异情况越少越好,这种怪异现象数学上称为奇异性。例如在实三维空间中一个电荷分布μ引起的静电势和一个质量分布μ引起的引力势可以表示为:
                                   φ(x)=∫dμ(y)/|x-y|
所谓势的奇异集指的是使得φ(x)=∞的那些x构成的集合,这个集合有多大?我们当然希望它小一点,判断它大小的办法就是计算它的维数。遗憾的是,企图精确计算出这些集合的维数往往是徒劳的,很多时候我们只能估计出其上界。类似的问题在动力系统、流体力学中也常碰到,所以,别以为这些妖魔鬼怪们都是数学家制造出来吓唬人的。
       空间中任何一个分形集一定是不含任何区域的集合,例如,直线上的分形集不可能含线段,平面内的分形集一定不含任何圆,不管这个圆的半径多么小,这样的集合无论是局部还是整体都无法用传统的几何语言来描述。当然,这类集合还有很多特征,由于这里只是供大家欣赏,不必纠缠于它更细致的特征,否则你会感到索然无味的。
       对一般人来说,要真正搞清楚任何一个分形集都不是一件十分轻松的事情,你若不服,且看我介绍历史上最早出现的也是最简单的分形集,看你能从中窥探出多少信息来。下面的文字你也许需要牺牲一点脑细胞才能看明白。
        将区间[0,1]三等分,挖掉中间的开区间(1/3,2/3),余下两个区间[0,1/3],[2/3,1],再将这两个区间三等分,挖掉中间的开区间(1/9,2/9),(5/9,6/9),余下四个区间[0,1/9],[2/9,1/3],[2/3,7/9],[8/9,1],依此方法不断挖下去,最后剩下的集合记为C,称它为Cantor(康托)三分集。
        可能你会觉得,这么简单的集合谁不明白?还用得着牺牲脑细胞?君请稍安勿躁,如果你能回答下面的几个问题,我就承认你脑袋上没长毛,聪明绝顶!
        1、挖去的区间总长度是多少?这个问题对大多数人应该不难回答。
        2、剩下的集合C含多少个点?不是要你算它的维数,而是要数其中点的“个数”即“基数”或“势”,例如你能不能回答它比有理数多,还是比有理数少?与无理数比呢?谁多谁少?
        3、你能算出它的维数吗?
       要回答第三个问题就需要知道什么叫测度,我们知道,区间[a,b]或(a,b)长度均为b-a,可如果我问你有理数集合的长度是多少你能回答吗?嘿嘿,我看这回鲍大侠恐怕真的变成傻子了。不过你傻得有理,因为连一般集合长度的定义都不知道,不傻才怪!那么我们该如何定义一般集合的“长度”呢(这里只说直线上的集合,高维情形道理相同)?别小看微积分,它的思想威力无比,想想看,在微积分中对于一般平面图形的面积是怎么计算的?局部化!就是局部地用矩形代替曲边梯形,然后求和再求极限。简单吧,但你真正理解它深刻的思想内涵了吗?如果你理解了,你就应该知道如何定义直线上一般集合的“长度”,这个长度就叫测度。
        暂且写到此,够诸位大侠们睡不着觉了,欲知后事如何,且听下回分解。


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