博客乎?茶馆乎?分享 http://blog.sciencenet.cn/u/gfcao 累时休整,烦时发泄, 闲时思考,乐时分享。

博文

你真的懂分形吗?—历史上的第一个分形集(续)

已有 5400 次阅读 2008-11-3 13:36 |个人分类:数学常识|系统分类:科普集锦

       各位大侠被我搞懵了吧?都是分形这个魔鬼闹的!别看杨大侠把分形夸的天花乱坠,郑融老师把分形说得那么富有诗意,其实,你要真正理解它、描述它就没那么激动人心了。
       打个比方,现在还有谁熟悉DOS操作系统?可是倘若你要把电脑的五脏六俯扒开来看,还就得DOS系统,然而那复杂的命令让很多人感到头疼。Windos固然让全世界人民都享受了电脑带来的方便与快乐,但同时又让很多人成了实际上的机盲。这个问题还是留给李亚辉这个大民科去研究吧,我要将这篇分形进行到底。
      为了让大家读起来轻松一点,不至于因为读了这篇文章头发变白了然后花钱去染发,我就不再讲得太细致,而是粗线条地介绍。
      上回说到测度问题,该怎样定义测度呢?假设E是直线上的一个集合(不妨假定它是有界的),我们用一列开区间I_n(n=1,2,3,…)把它盖住,即I_n的并集∪I_n包含了E,I_n的长度当然是可以求的,用|I_n|表示I_n的长度,如果E有长度的话,当然应该小于盖住它的那些区间序列的长度之和:Σ |I_n|≥|E|(注意|E|尚未定义)。由于盖住E的开区间序列很多,所以取Σ |I_n|的“最小者”,这个最小者可能是达不到的,所以微积分里有个词“下确界”,君若不知就不必管它了,权当最小者,这个“最小者”称为E的外测度。这是不是很象微积分里的分割求和?它是不是可以作为E的一种度量呢?如果这个量可以作为E的“长度”,那它应该具备长度概念所有的特征,例如,假如A,B是两个不相交的集合,则应该有|A∪B|=|A|+|B|,令人遗憾的是,外测度未必具有这种性质!于是产生了“不可测集”的概念,这有点象Riemann不可积函数。满足某种可加性的集合称为可测集,否则称为不可测集。
       还是用例子来说话吧,有理数的测度是多少?设{r_n}为有理数全体,对任意的ε>0,令I_n=(r_n-ε/2^n, r_n+ε/2^n),则∪I_n包含了{r_n},于是Σ |I_n|>|{r_n}|,不等式左边是多少?它等于2ε,由于ε是任意的,所以|{r_n}|=0,这就是说,有理数集的“长度”为0,简单吧?再来看看Cantor集C,不难计算,第一次挖去了1/3长度,第二次挖去了两个1/9长度,第三次挖去了四个1/27长度,依此类推,第n次挖去了2^{n-1}个1/3^{n}长度,从而挖去的总长度为Σ2^{n-1}/3^{n}=1。嘿嘿,好象被挖得差不多了,事实上,C的测度(“长度”)的确等于0(第一个问题有答案了)!似乎C所含的点很少了,可以看到C在[0,1]中任何点处都不稠密。我们知道有理数集合是处处稠密的,如此说来岂不是有理数集所含的点比C中的点多?如果你这么看,你的直觉就把你欺骗了,事实上,C中的点与[0,1]区间一样多!惊讶吧?想知道吗?这里暂且放过,以后再论。
        上述两个例子告诉了我们什么?上面的测度概念无法区分有理数集与Cantor集,我们需要更精细的测度,于是Hausdorff测度横空出世了!测度的基本思想是用开区间覆盖给定的集合,从而得到一个级数Σ |I_n|,当我们对它取“最小值”时,可能其值等于0,如Cantor集与有理数集。可是如果我们给|I_n|加上一个小于1的非负指数α,即考察级数Σ |I_n|^{α},你认为它还收敛到0吗?我想你应该很容易找到反例的,加上指数α后级数可能收敛也可能发散,这样就出现一个临界状态,即存在某个数d,当α<d时Σ |I_n|^{α}永远等于∞,当α>d时,Σ |I_n|^{α}的“最小者”(下确界)等于0,只有当α=d时Σ |I_n|^{α}的“最小者”才是个非零的有限数。我们把d称为集合的Hausdorff维数,也称为分数维。
      说是分数维,其实这个数完全可能是无理数,例如Cantor集的维数是log2/log3(可以通过自相似性公式来计算),有理数集的维数是0(你自己都可以证明它)。
     千万别让我这篇文章把你吓得再也不敢碰分形了,当你真正扒了它的外衣,你会发现,它不仅外表美,心灵更美!它思想的光辉会让你为之神魂颠倒。
 


http://blog.sciencenet.cn/blog-40247-45265.html

上一篇:你真的懂分形吗?--历史上的第一个分形集
下一篇:怪异的教育

4 张士伟 刘玉平 郑融 杨秀海

发表评论 评论 (6 个评论)

数据加载中...

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备14006957 )

GMT+8, 2019-11-21 23:49

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部