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离散随机变量、分布列与奇异分布

已有 1601 次阅读 2019-2-27 09:33 |个人分类:数学常识|系统分类:科普集锦

 

中学教材没有给出样本空间的定义,所以随机变量也是描述性的,离散型随机变量也仅指取有限个值的情形,甚至不涉及可数的情形。这么处理自然有一定道理,因为中学阶段并不学习级数理论,理所当然不能介绍随机变量取可数个值时的概率分布。但作为教师,也许有必要搞清楚相关概念及其关系。

   教材中并未对离散随机变量细加追究,以至于给人一种感觉,样本空间有限或可数时,对应的随机变量是离散的。其实不然,离散性是相对于随机变量的取值而言的。举例来说,假设样本空间T是单位圆盘,T1是以1/2为半径的同心圆,定义T上的随机变量为

X(a)=1, a 在T1中,否则取值为0。这里X仅取两个值,它当然是离散的。

一个随机变量如果不是离散型的,它一定是连续型的吗?中学教材中没有介绍连续型随机变量,但教辅材料中则定义为取值充满一个区间的随机变量。如果按照这个定义,在离散型随机变量与连续型随机变量之外还存在第三种随机变量,即取值既不可数也不充满一个区间。例如,假设样本空间为单位区间[0,1],G为[0,1]区间中著名的康托尔集,定义[0,1]上的随机变量为X(a)=a, a在G中,否则为0,则X的取值既没有充满任何区间,也不是可数的,事实上,X(a)的取值个数与实数一样多。

概率论中通常是对分布函数做分类,这是由分布函数的结构决定的,所谓连续型分布指的是随机变量的分布函数是一个绝对连续函数,而所谓的奇异分布则是指导数几乎处处等于零的分布函数。没有学习过实变函数的人对绝对连续函数与奇异函数可能比较陌生,《问题驱动的中学数学课堂教学(概率与统计卷)》对此有一个通俗的介绍,有兴趣者不妨一读。事实上,由勒贝格分解定理,任何分布函数都可以分解成绝对连续函数与奇异函数之和,这个定理称为分布函数的结构性定理。绝对连续函数有一个可积的密度函数(这里的可积指的是勒贝格积分),奇异函数不具有这样的形式。

中学教材中有奇异分布吗?有,而且很多,例如古典概型、超几何分布,分布列等,如果把他们的分布函数写出来,这些分布函数都是奇异的。以掷骰子为例,令

X(i)=i, i=1,2,3,4,5,6

则X是样本空间{1,2,3,4,5,6}上的随机变量,其分布函数F(x)为

F(x)=P(X(i)<x)

从这个式子似乎看不出所以然来,但如果我们引入一个特殊的函数就立马可以看出来了,这个函数就是鼎鼎大名的Heavside函数,Heavside是一个电器工程师,他发明这个函数的初衷是用在电路工程中,但这个函数为奇异函数提供了一个标准模型。记

H(x)=1,≥0,;H(x)=0, x<0,

不难看出,这个函数除了在0点不可导,在其它点处的导数均为0,所以他是一个非零的奇异函数。利用它与平移变换便可以表示掷骰子试验的分布函数:

F(x)=1/6[H(x-1)+H(x-2)+...+H(x-6)]

显然,这是个奇异函数。当然,除了有间断点的奇异函数,还有连续的奇异函数。

 

 



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2 钟炳 杨正瓴

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