王善勇博主的一篇“磨刀可误砍柴功”的博文中，从砍柴联想到科研，并警告磨刀并不像谚语所说的那样一定不误砍柴功，而是有条件的。如果我们一味定向思维，所做的事结果很可能不如人意。这当然是对的，仔细想想，即便一般情况，也不是所有的“磨刀”都不误“砍柴功”。最极端的情况，如果你拼命磨刀，就是不砍柴，铁定累死磨刀也会误砍柴的。那么什么样的磨刀才不误砍柴的呢？还进一步，什么样的磨刀才最优呢？处理最优问题恰恰是数学最拿手的。我们现在就对这个问题进行数学建模，并在一定条件下，定量确切地给出结果。以此例可以看出数学在应用实际问题时的局限性和优越性。

   假定：

1）砍柴给定时间T>0（不是无穷）；

2）开始的0时刻，刀是锋利的，初始砍柴速度为 $x_{0}$ ；

3）在砍柴时间里只磨一次刀，停下磨刀时刻为 $t_{0}$ ，磨刀用时为d，磨完刀后，刀恢复到初始的锋利程度。

4）砍柴过程中，砍柴人全力工作，速度为 $x(t)$ ，但砍柴速度却因刀的逐渐钝化而指数下降，设为 $x_{0}e^{-ct}$ ，这里c是一个正常数，表示着刀钝化率；

5）G为所做的砍柴功。

   问：d 多大时，磨刀不误砍柴功，并问什么时候磨刀最有效。

   建模：

我们要求下面的目标函数

$G=\int_{0}^{T}x(t)dt$

其中砍柴速度在磨刀前随时间指数下降，磨刀时为0，而磨刀后砍柴速度恢复到初始状态后，再次随时间指数下降。即

$x(t)=\left\{\begin{array}{ll}x_0e^{-ct},\quad&\mbox{ if }t\in(0,t_0),\\0, &\mbox{ if } t\in [t_0,t_0+d],\\ x_0e^{-c(t-t_0-d)},&\mbox{ if }t\in(t_0+d,T),\end{array}\right.$

那么问题转换成如何找到 $t_{0}$ 使得 G 最大，即求max G。

解模:

如果控制函数是一个砍柴速度函数，这个问题就是一个变分问题。但我们可以将其简化成一般的优化问题：即找一个控制变量 $t_{0}$ ，使得砍柴功最大。那问题就简单得多。我们可以用微积分求极值的方法找到这个优化问题的解。

事实上，上面砍柴速度的具体表达式代入砍柴功的表达式，得：

$G(t_0)=\int_{0}^{t_0}x_0e^{-ct}dt+\int_{t_0+d}^{T}x_0e^{-c(t-t_0-d)}dt=\frac{x_0}{c}[(1-e^{-ct_0})+(1-e^{-c(T-t_0-d)})]$

对 $G(t_0)$ 关于求导并令其为零，我们有

$G'(t_0)=x_0(e^{-ct_0}-e^{-c(T-t_0-d)})$

解得

$t_0^*=\frac{1}{2}(T-d)$

这就是说在砍柴时间减去磨刀时间一半时是最佳的停下磨刀的时间。这时磨刀，我们可以得到最大的砍柴功

$G(t_0^*)=\frac{2x_0}{c}(1-e^{-c(T-d)})$

如果我们不磨刀，到T 时，所做的砍柴功为

$G=\frac{x_0}{c}(1-e^{-cT})$

显然，要磨刀不误砍柴功，磨刀时间不能太长。那么磨刀时间最多多长呢？也就是说，必须要有

$G(t_0^*)>G$

解一下这个式子，不难得到

$d

由于 $1+e^{-cT}<2$ ，所以上式第二项为负，这意味着d < T。另一方面，

$T+\frac{2}{c}\ln\left (\frac{1+e^{-cT}}{2} \right )=\ln\left ( \frac{e^{cT/2}+e^{-cT/2}}{2} \right )>0$

这是因为双曲余弦函数

$\frac{e^{cT/2}+e^{-cT/2}}{2}>1$

只要T > 0。所以大于0使得不误砍柴功的磨刀时间d是存在的。

   结论：

   要想不误砍柴功，磨刀时间必须在 $T_0$ 内将钝刀恢复到初始锋利状态，而最优的磨刀时间在砍柴时间减去磨刀时间后一半的时刻。这个磨刀时间的限制依赖于砍柴时间长短T 和刀的钝化率c。这个刀的钝化率需要实际数据校验。

   模型扩展：

1.       不同的钝化函数；

2.       允许多次磨刀；

还可以推广到其他情形，如项目申请、职业培训、修养充电等等。