一叶知秋分享 http://blog.sciencenet.cn/u/liangjin 同济大学数学系,风险管理研究所

博文

也谈“磨刀不误砍柴功” 精选

已有 13542 次阅读 2016-11-17 09:18 |个人分类:问题讨论|系统分类:科普集锦| 数学模型, 砍柴

   王善勇博主的一篇“磨刀可误砍柴功”的博文中,从砍柴联想到科研,并警告磨刀并不像谚语所说的那样一定不误砍柴功,而是有条件的。如果我们一味定向思维,所做的事结果很可能不如人意。这当然是对的,仔细想想,即便一般情况,也不是所有的“磨刀”都不误“砍柴功”。最极端的情况,如果你拼命磨刀,就是不砍柴,铁定累死磨刀也会误砍柴的。那么什么样的磨刀才不误砍柴的呢?还进一步,什么样的磨刀才最优呢?处理最优问题恰恰是数学最拿手的。我们现在就对这个问题进行数学建模,并在一定条件下,定量确切地给出结果。以此例可以看出数学在应用实际问题时的局限性和优越性。

   假定:

1)砍柴给定时间T>0(不是无穷);

2)开始的0时刻,刀是锋利的,初始砍柴速度为 $x_{0}$ ;

3)在砍柴时间里只磨一次刀,停下磨刀时刻为 $t_{0}$ ,磨刀用时为d,磨完刀后,刀恢复到初始的锋利程度。

4)砍柴过程中,砍柴人全力工作,速度为 $x(t)$ ,但砍柴速度却因刀的逐渐钝化而指数下降,设为 $x_{0}e^{-ct}$ ,这里c是一个正常数,表示着刀钝化率;

5)G为所做的砍柴功。

   问:d 多大时,磨刀不误砍柴功,并问什么时候磨刀最有效。

   建模:

我们要求下面的目标函数

$G=\int_{0}^{T}x(t)dt$

其中砍柴速度在磨刀前随时间指数下降,磨刀时为0,而磨刀后砍柴速度恢复到初始状态后,再次随时间指数下降。即

$x(t)=\left\{\begin{array}{ll}x_0e^{-ct},\quad&\mbox{ if }t\in(0,t_0),\\0, &\mbox{ if } t\in [t_0,t_0+d],\\ x_0e^{-c(t-t_0-d)},&\mbox{ if }t\in(t_0+d,T),\end{array}\right.$

那么问题转换成如何找到 $t_{0}$ 使得 G 最大,即求max G

解模:

如果控制函数是一个砍柴速度函数,这个问题就是一个变分问题。但我们可以将其简化成一般的优化问题:即找一个控制变量 $t_{0}$ 使得砍柴功最大。那问题就简单得多。我们可以用微积分求极值的方法找到这个优化问题的解。

事实上,上面砍柴速度的具体表达式代入砍柴功的表达式,得:


$G(t_0)=\int_{0}^{t_0}x_0e^{-ct}dt+\int_{t_0+d}^{T}x_0e^{-c(t-t_0-d)}dt=\frac{x_0}{c}[(1-e^{-ct_0})+(1-e^{-c(T-t_0-d)})]$


对 $G(t_0)$ 关于求导并令其为零,我们有

$G'(t_0)=x_0(e^{-ct_0}-e^{-c(T-t_0-d)})$

解得

$t_0^*=\frac{1}{2}(T-d)$

这就是说在砍柴时间减去磨刀时间一半时是最佳的停下磨刀的时间。这时磨刀,我们可以得到最大的砍柴功

$G(t_0^*)=\frac{2x_0}{c}(1-e^{-c(T-d)})$

如果我们不磨刀,到T 时,所做的砍柴功为

$G=\frac{x_0}{c}(1-e^{-cT})$

显然,要磨刀不误砍柴功,磨刀时间不能太长。那么磨刀时间最多多长呢?也就是说,必须要有

$G(t_0^*)>G$

解一下这个式子,不难得到

$d

由于 $1+e^{-cT}<2$ ,所以上式第二项为负,这意味着d < T。另一方面,

$T+\frac{2}{c}\ln\left (\frac{1+e^{-cT}}{2} \right )=\ln\left ( \frac{e^{cT/2}+e^{-cT/2}}{2} \right )>0$

这是因为双曲余弦函数

$\frac{e^{cT/2}+e^{-cT/2}}{2}>1$

只要T > 0所以大于0使得不误砍柴功的磨刀时间d是存在的。

   结论:

   要想不误砍柴功,磨刀时间必须在 $T_0$ 内将钝刀恢复到初始锋利状态,而最优的磨刀时间在砍柴时间减去磨刀时间后一半的时刻。这个磨刀时间的限制依赖于砍柴时间长短T 和刀的钝化率c这个刀的钝化率需要实际数据校验。

   模型扩展:

1.       不同的钝化函数;

2.       允许多次磨刀;

还可以推广到其他情形,如项目申请、职业培训、修养充电等等。






http://blog.sciencenet.cn/blog-39446-1015229.html

上一篇:我在上海电视台演绎埃舍尔
下一篇:博物馆里的土著风II —— 加拿大的人类学博物馆

29 刘忠波 刘玉仙 黄永义 武夷山 罗祥存 郑俊 刘立 吴斌 吕喆 吉宗祥 陈苏华 王立新 胡涛 李学宽 陆泽橼 李泳 王善勇 程少堂 强涛 丛远新 杨绪洪 UNCblue xlsd xiyouxiyou taoshl haishanzhidian mathqa zjzhaokeqin ericmapes

该博文允许注册用户评论 请点击登录 评论 (22 个评论)

数据加载中...
扫一扫,分享此博文

Archiver|手机版|科学网 ( 京ICP备07017567号-12 )

GMT+8, 2021-10-21 07:44

Powered by ScienceNet.cn

Copyright © 2007- 中国科学报社

返回顶部